Limite d'un exponentiel

[inviteef02f5f4]

Bonjour,
J'ai a étudier la continuité et la dérivabilité, à gauche et à droite en 0 de la fonction :


On peut facilement se douter que pour la continuité, à gauche ce sera +infini et à droite 0 ( notamment par l'appui d'un graphique ) mais pour la démonstration, c'est autre chose.

J'ai pensé à faire un DL mais je n'ai pas réussi ( et je pense que c'est impossible vu que c'est en 0 mais ça reste à voir ). J'ai cherché des équivalences mais n'ai pas trouvé grand chose.

Je voudrais savoir si seulement avec une croissance comparée, on peut s'en sortir et dire que est négligeable devant l'exponentiel ? ( est-ce que j'ai dis une grosse bêtise ? )

Merci pour votre aide
Pierrefire
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[invite5150dbce]

Bonjour,
J'ai a étudier la continuité et la dérivabilité, à gauche et à droite en 0 de la fonction :


On peut facilement se douter que pour la continuité, à gauche ce sera +infini et à droite 0 ( notamment par l'appui d'un graphique ) mais pour la démonstration, c'est autre chose.

J'ai pensé à faire un DL mais je n'ai pas réussi ( et je pense que c'est impossible vu que c'est en 0 mais ça reste à voir ). J'ai cherché des équivalences mais n'ai pas trouvé grand chose.

Je voudrais savoir si seulement avec une croissance comparée, on peut s'en sortir et dire que est négligeable devant l'exponentiel ? ( est-ce que j'ai dis une grosse bêtise ? )

Merci pour votre aide
Pierrefire

Pas besoin de développement limité. Juste besoin du théorème de la limite d'une fonction composée

A gauche c'est encore plus facile qu'à droite :
lim(x-->0, x<0)(-1/x)=+inf
Or lim(x-->+inf)(x²e^x)=+inf d'après les règles opératoires sur les limites
Donc lim(x-->0, x<0)(e^-1/x/x²)=+inf d'après le théorème de la limite d'une fonction composée

lim(x-->0, x>0)(1/x)=+inf
Tu n'as plus qu'à calculer ça : lim(x-->+inf)(e^x/x²)
Etant en terminale, je ne sais pas quelle justification tu dois donner sans faire une démonstration complète. Peut-être la croissance comparée.
Ensuite tu n'as plus qu'à terminer

[invite5150dbce]

Sinon la démonsttation est simple. Tu étudies le signe de x : |-->e^x-x³/6

[inviteef02f5f4]

Oups !
Je crois que je me suis compliqué pour rien !
Pour la limite a gauche tu as tout a fait raison hhh86, et pour celle à droite tu as fais une petite erreur car tu as mis + l'infini alors que si je ne me trompe pas, c'est - l'infini ( mais bon, je peux encore me tromper vu comment je suis partis aujourd'hui ). Enfin en tout cas, ça se ramène juste comme tu le dis à une croissance comparée toute bête.

Désolé de t'avoir fait perdre votre temps !

Merci à toi !
Pierrefire

[A voir en vidéo sur Futura]