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DM term S exponentiel



  1. #1
    anto54

    DM term S exponentiel


    ------

    bonjour, j'ai un dm de maths mais j'ai quelque soucis pour le faire. j'aimerais quelque indication pour pouvoir le faire. voici l'énoncé :

    Le but de l’exercice est de montrer que l’équation (E) :e^x=1/x, admet une unique solution dans l’ensemble R des nombres
    réels.
    I. Existence et unicité de la solution
    On note f la fonction définie sur R par : f (x)=x-e^-x.

    1. Démonter que x est solution de l’ équation (E) si et seulement si f (x) Æ 0.

    2. Étude du signe de la fonction f
    (a) Étudier le sens de variations de la fonction f sur R.

    (b) En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur R, notée a.

    (c) Démontrer que a appartient à l’intervalle [1/2 ; 1 ]

    (d) Étudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; a].

    II. Deuxième approche
    On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : (1+x)
    g (x)=-------
    (1+e^x)

    1. Démontrer que l’équation f (x)= 0 est équivalente à l’équation g(x)=x.

    2. En déduire que a est l’unique réel vérifiant : g (a) = a.

    3. Calculer g'(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; a].

    Dans ce DM j'ai juste réussi a faire la questions I) 2) b) et la II) 3 )
    Est ce que vous pouvez m'aider a faire le reste. je ne veux pas les les péponses mais juste des indications pour les faire. merci.

    -----

  2. #2
    lapin savant

    Re : DM term S exponentiel

    Salut,
    I. 1)
    Il s'agit de montrer qu'il est équivalent de dire que f(x)=0 et que x vérifie (E) :


    Ben tu pars de l'équation (E) et en utilisant UNE propriété de l'exp, tu arrives à f(x) = 0 (ou bien dans l'autre sens, tu pars de f(x)=0 c'est plus simple et cela revient au mêm puisqu'il s'agit d'une équivalence).

    La 2) est simple je te la laisse (bête étude de fonction).

    Pour la II.1) tu procèdes comme pour la I.1) : tu pars d'un côté et tu arrives à l'autre en utilisant qq propriétés de l'exp.

    2) tu utilises l'étude faite en I.2) et 3)
    3) Ben tu calcules la dérivée

    Bon courage

  3. #3
    anto54

    Re : DM term S exponentiel

    Merci de ton aide. je vais me debrouiller avec ca, je pense que ca devrait aller. si j'ai un probleme je reviendrai ^^ .

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