Espace vectoriel des fonctions continues

[kasmurdanto]

Bonsoir je dois montrer que l'ensembles des fonctions C0 continues de R dans R est un espace vectoriel pour les lois internes d'additions de multiplications et de compositions.
J'ai l'impression que simplement vérifier les axiomes est un peu léger je me trompe ? par exemple pour l'addition on a par définitions que :
f+g = g+f
il existe la fonction nulle tel que f + 0 = f
...
pareil pour la multiplication et pour la composition il est facile de trouver un contre-exemple de la première loi en prenant par exemple f(x) = x^2 + x et g(x) = x^2 + x
Voila j'ai cependant l'impression qu'il faut rajouter plus d'arguments vis à vis de la continuité et la je bloque un peu .
Merci pour votre aide .
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[gg0]

Bonjour.

"un espace vectoriel pour les lois internes d'additions de multiplications et de compositions."
3 lois pour un espace vectoriel, c'est trop.

Sinon, une fois que tu auras un énoncé correcte, "vérifier les axiomes" n'est pas "un peu léger". C'est la méthode de base, si tu n'as pas un espace vectoriel plus gros dont ce serait un sous-espace vectoriel.
Mais manifestement, tu ne vérifies pas les axiomes, seulement une petite partie.

Donc à revoir :
* la définition d'un espace vectoriel
* l'énoncé précis de ton exercice.

Cordialement

[kasmurdanto]

ce n'est pas ce que j'ai voulu dire , je reformule :

il s'agit de vérifier s'il s'agit d'un espace vectoriel pour chacune des opérations , addition , composition , multiplication , donc vérifier si l'ensemble des fonctions C0(R,R) est un espace vectoriel
si on l'associe soit à l'addition , soit à la composition , soit à la multiplication .

Bon d'accord pour la vérification des axiomes , mais comment les vérifies t'on pleinement dans ce cas précis ? Oui je ne les ai pas tous marqués parce que quelque chose m'échappe :
Pa exemple pour le premier axiome : f+g = g+f .
Comment justifier ca ? Il faut passer par des notions d'analyses , de continuité ? Parce que c'est vraiment évident mais pas très dans l'esprit démonstration de juste marquer ca .
la version chipotage du premier axiome ca ressemblerait à un truc du genre ?

pour tout x appartenant à R , il existe y appartenant à R tel que y = f(x) et y'= g(x) et y+y'=y'+y car R est un espace vectoriel donc f(x)+g(x) = g(x)+f(x)
De plus la somme de deux fonctions continues est continue donc f(x)+g(x) est aussi continue .

Voila j'espère que vous voyez mieux mon problème , Je ne sais pas à partir de quand on en fait trop dans la justification ou pas assez .

EDIT : Et oui , je ne peut pas passer par la notion de sous espace vectoriel parce qu'on ne nous donne pas d'ensemble englobant les fonctions continues de R dans R .

[gg0]

Ça ne va toujours pas.

Tu devrais avoir un énoncé précis. Ce que tu en dis n'a pas de rapport avec un espace vectoriel. Pour un EV, il y a deux opérations, pas une !
Dans la définition d'un espace vectoriel, avant les axiomes des opérations, il y a des conditions sur les opérations (donc des axiomes).

Il suffit de vérifier que toute la définition fonctionne. Rien de plus, rien de moins.

Cordialement.

NB : l'ensemble des applications de R dans R est, muni d'opérations classiques, un espace vectoriel classique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kasmurdanto]

Vous êtes plutôt du genre tatillon .
Alors oui j'ajoute que mes espaces vectoriels sont bien munis d'une loi de composition externe classique (lambda appartenant à R) , en bons espace vectoriels qu'ils sont .
Je comprends ce que vous voulez dire , mais ça reste flou pour moi dans l'application . Pour reprendre l'exemple précédent , Pour vérifier le premier axiome
à propos de l'ensemble des fonctions C0(R,R) munis de l'addition interne et d'une multiplication externe par un réel , puis je dire :

Soit f et g appartenant à C0(R,R)
f+g=g+f par définition d'une somme de fonctions . Et ca suffit ?

Merci de votre aide en tout cas .

[gg0]

Sans être tatillon, juste pour savoir :

à propos de l'ensemble des fonctions C0(R,R) munis de l'addition interne (qui est ?) et d'une multiplication externe par un réel (laquelle) ,

A cette heure, je ne sais toujours pas quelle est la vraie question, tu ne l'as jamais donnée. Si tu avais traité du début une question correcte, on aurai déjà bien avancé, mais tu restes dans le flou. Pas étonnant que tu ne saches pas si ce que tu fais est bon.
Donc je ne suis pas particulièrement tatillon, c'est toi qui ne fais pas ton travail.

f+g=g+f par définition d'une somme de fonctions ? Ah bon ? Et où la définition parle-t-elle de ça ?

Bon, allons droit au but :
Quelles sont les deux lois que tu mets sur C0(R,R) pour en faire un éventuel espace vectoriel ? Décris-les précisément.

Cordialement.