Integrale generalisé

[invite2e6f92f4]

salut tt le monde
montrer que l integrale suivant diverge
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[gg0]

Bonjour.

Comme le cos s'annule, la seule valeur utile est 0. Sans intérêt.
Une méthode possible : découper en intervalles sur lesquels garde un signe constant, donc ne s'annule pas. Comme l'intégrale, prise de 1 à A (un nombre supérieur à 1) est une fonction croissante de A, on pourra la minorer par une somme d'intégrales que tu pourras calculer (??) ou minorer.

Cordialement.

[gg0]

Bon,

après vérification, il apparaît(*) que la fonction à intégrer (même sans les valeurs absolues) n'a pas de primitives simples. Il ta faudra minorer le cos par une fonction simple (affine par morceaux, ou même constante par morceaux). Je te laisse trouver ...

Cordialement.

(*) j'en étais assez sûr, jai préféré vérifier.

[invite5805c432]

faut probablement etre plus fin que ca, vu que cos s’annule de temps en temps.

une option serait de considérer:
|cos(t)|> 1/2 pour t\in [-pi/4+kpi, +pi/4+kpi],
minorer l'integrale par une somme de termes de l'ordre de 1/k

et conclure car la somme 1/k diverge.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5161e205]

Considérons t lorsque |COS(t)|>1/(2)^(1/2)

C'est lorsque -pi/4+2.k.pi<t<pi/4+2.k.pi et 3.pi/4+2.k.pi<t<5.pi/4+2.k.pi
Soit lorsque -pi/4+k.pi<t<pi/4+k.pi

integrale(|COS(t)/t|)pour 1<=t<infini > SOMME( integrale(|COS(t)/t|)) pour -pi/4+k.pi<=t<pi/4+k.pi et k=1 à infini

et

SOMME( integrale(|COS(t)/t|)) pour -pi/4+k.pi<=t<pi/4+k.pi et k=1 à infini > SOMME( 1/SQR(2).integrale(|t|)) pour -pi/4+k.pi<=t<pi/4+k.pi

et ce minorant diverge
CQFD

Désolé pour les caractères...

[invite37083ed2]

Perso j'extrais de la somme les cas où |cos x| vaut 1, ça me fait une série de terme générale ça diverge. Le reste de la somme est positif, rien pour compenser la divergence : diverge.

[gg0]

Victor.S,

il serait intéressant de pouvoir lire ta "preuve" rédigée. Car le cos ne vaut 1 qu'en des points isolés donc donne une intégrale nulle.

Cordialement.

[invite37083ed2]

Oui t'as complètement raison c'est n'importe quoi le raisonnement marche sur des intervalles pas sur des points isolés.