Bonjour,
svp pourquoi si P1,P2,.....,Pk+1 sont premiers deux à deux alors Pk+1 est premier au produit de polynômes (P1P2.....Pk) ?
Merci
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04/11/2014, 03h57
#2
invite37083ed2
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Re : polynômes pemiers
Être premier avec équivaut à "n'avoir aucune racine commune" =).
Car si A et B dans K[X] non premiers entre eux alors pgcd(A,B)=P différent de 1, donc on prend une racine de P (on peut raisonner dans la clôture algébrique du corps K), c'est une racine commune à A et B.
Et si A et B ont une racine commune x alors il existe P et Q tels que A=P(X-x) et B=Q(X-x) donc ils sont tous deux multiples de (X-x) donc non premiers entre eux.
04/11/2014, 04h11
#3
inviteea028771
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Re : polynômes pemiers
Envoyé par Victor.S
Être premier avec équivaut à "n'avoir aucune racine commune" =).
Car si A et B dans K[X] non premiers entre eux alors pgcd(A,B)=P différent de 1, donc on prend une racine de P (on peut raisonner dans la clôture algébrique du corps K), c'est une racine commune à A et B.
Et si A et B ont une racine commune x alors il existe P et Q tels que A=P(X-x) et B=Q(X-x) donc ils sont tous deux multiples de (X-x) donc non premiers entre eux.
Mouai, autant décomposer chaque polynôme en produit de polynômes irréductibles unitaires: deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si et seulement si les polynôme en commun dans leur décomposition sont inversibles. le résultat est alors immédiat
Parce qu'aller chercher la clôture algébrique, c'est un peu disproportionné
04/11/2014, 04h40
#4
invite37083ed2
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Re : polynômes pemiers
T'inverses, je scinde, aucune différence de complexité ^^. Et scinder a un côté plus visuel, je préfère.
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
04/11/2014, 07h53
#5
gg0
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Re : polynômes pemiers
Victor.S,
qui a dit que ce sont des polynômes sur un corps ?
Cordialement.
04/11/2014, 08h12
#6
Amanuensis
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Re : Polynômes pemiers
Envoyé par hanlover
Bonjour,
svp pourquoi si P1,P2,.....,Pk+1 sont premiers deux à deux alors Pk+1 est premier au produit de polynômes (P1P2.....Pk) ?
Merci
Commencer par étudier le cas de trois polynômes.
Pi et Pj premiers entre eux => il existe et tels que
On cherche A et B tels que ...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
04/11/2014, 09h23
#7
invite37083ed2
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Re : polynômes pemiers
gg0 : Oui j'avais pas vu ça comme ça.
Okay donc en effet ma solution n'est pas minimale.