Surface, équation paramétrique

[invite4c80defd]

Bonsoir à tous,
je rencontre quelques problèmes divers exos traitant des équations paramétrées, de surface....

les voici :

1) reconnaitre la surface donnée par :

x(u,v)=2cos(u)
y(u,v)=v
z(u,v)=2sin(u)
on donne u allant de 0 à pi et v allant de 0 à 3.
je me place dans un repere (x,y,z) avec x en avant, y vers la droite et z en haut

je crois que c'est un cylindre de rayon 2 d'axe y et de "longueur" 3. mais j'ai un probleme avec l'angle:
si on considère v de o à pi, alors on a un demi cylindre. Mais ce demi-cylindre , comment est-il ?
est-ce que l'on coupe le cylindre au niveau du plan x0y est on garde la partie supérieure ? ou bien est-ce que l'on coupe suivant z0y, et on garde la partie en avant ?
je ne sais ps trop comment placer l'angle..


2)décrire la courbe définie par la fonction vectorielle:

r(t)= cos(2t)i +sin(2t)j +tk pout t de 0 à 3pi et (i,j,k) un repere 3D.
r(t)= 2cos(2t)i +sin(2t)j +tk pout t de 0 à 3pi

le premier serait-il encore un cylindre de rayon 1 ,d'axe k (ou z) de "longueur" 3pi ? j'ai un souci avec l'angle par contre il serait égal à 6pi ? (t de 0 à 3pi impliquerait 2t de 0 à 6pi ..)

pour le 2em , je ne vois pas ..je n'arrive pas à trouver la courbe correspondante avec ce facteur 2 devant le cos uniquement...

3) déterminer un paramétrage pour la courbe intersection du cône z=sqrt(x²+y²) et du plan z=1+y

un cylindre se décrit de cette façon:
x=r*cos(téta)
y=r*sin(téta)
z=z
si je sais que z= 1+y,
alors, est-il possible d'écrire :
x=r*cos(téta)
y=r*sin(téta)
z=1+r*sin(téta) pour répondre correctement à la question ?


en vous remerciant d'avance,

bonne soirée à tous
-----

[invite5805c432]

1)ton intuition est juste, c'est un demi cylindre. Reste à deviner son axe, ce qui doit etre assez clair.
Je ne vois pourquoi tu parles d'angles

2) ce sont des courbes, et non pas des surfaces.
Ton intuition te dis que ca ressemble au cylindre, mais en fait c'est bien une courbe.
a priori, il suffit de se placer en coordonnées cylindrique pour saisir tout de suite à quoi elle ressemblent

3) non, parce que l;intersection du cone et du plan, est une courbe. donc à priori à 1 parametre.
dans ton ecriture, il manque la relation qui lie r et theta.

[gg0]

Bonsoir.

1) il suffit de regarder les variations de x et z; le demi cercle obtenu dans le plan Oxz pour v=0.

Cordialement.

[invite63dc47d5]

Salut, s'il vous plait quelqu'un peut m'aider à calculer laplacien d'un vecteur dans R³ en cordonnées locales avec

laplaciende vecteur v=div(gradv)-rotvect(rotvect(v))

.
Mème je trouve un problème dans le calcul de rotvect(rotvect) dans R³ en cordonnées locales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4c80defd]

J'ai trouvé pour le 1 en prenant v=0 (le demi -cylindre revient à "couper le cylindre en entier suivant le plan x0y).

pour le 2:
en effet, je remarque qu'il n'y qu'un seul parametre
néanmoins, je ne parviens pas à déterminer cette courbe . J'ai essayé en prenant différents points:
t=0 donne A(1,0,0)
t=pi/2: B(-1,0,pi/2)
t=pi: C(1,0,pi)
t=2pi: D(1,0,2pi)

il doit surement falloir reconnaitre quelque chose, mais je ne vois pas quoi...

3) Vous avez raison, il ne me faut qu'un seul parametre . mais comment se débarrasser des deux parametres définissant un cylindre ? je ne vois pas très bien ce que vous voulez dire en me disant qu'il manque une relation (qui m'aiderait surement à la résolution ) ?


merci d'avance

[gg0]

Pour le 2,

en comparant avec le 1, on voit tout de suite quelle courbe tracée sur un cylindre c'est. On rencontre souvent des objets de cette forme. Si tu ne connais vraiment pas le nom mathématique, dis-le. en expliquant quels objets ont cette forme.

Cordialement.

[invite4c80defd]

je ne suis pas sur de moi , mais j'ai eu une idée:
r(t)= cos(2t)i +sin(2t)j +tk décrirait un cercle ?

r(t)= 2cos(2t)i +sin(2t)j +tk décrirait une ellipse ? car le coeff devant le cos et le sinus sont différents ?
est-ce correct ?
par contre , j'ai toujours un probleme avec de ct de 0 à 3 pi , comment dois -je interpréter cela ?

merci d’avance

[gg0]

"r(t)= cos(2t)i +sin(2t)j +tk décrirait un cercle ?"
Traduis en coordonnées cartésiennes (système paramétrique), tu verras peut-être mieux. En particulier la projection sur le plan z=0 donne une première idée, la réflexion sur la valeur de z permet de compléter.

Pour la valeur de t, c'est simplement une portion de courbe qui est choisie.

Cordialement.

NB : On peut même faire un dessin à la main en prenant des valeurs classiques pour t.

[invite4c80defd]

j'ai réessayé en prenant des valeurs simples pour z (0,pi/2,pi..).

j'ai traduit sous une autre forme:
x(t)=cos(2t)
y(t)=sin(2t)
z(t)=t


mes points formeraient un arc de cercle , mais je ne pense que pas que cela soit correct.
j'ai du mal avec le fait qu'il n'y a qu'un seul paramètre, je n'arrive pas à visualiser la courbe que ces équations décrivent.


merci pour votre aide

[gg0]

Tu manques vraiment de volonté de faire.

Dans le plan z=0, le projeté du point courant de la courbe (point de coordonnées (x(t),y(t),z(t)) ) est donné par
x(t)=cos(2t)
y(t)=sin(2t)
Quelle est sa trajectoire (niveau première S) ?
Compte tenu de z=t, quelle est la trajectoire du point courant de la courbe ?

[invite4c80defd]

je me suis dis, que, si je prends z=0, comme z=t, alors t=0 et donc x(0)=.. et y(0)=... je n'ai fais la démarche dont vous me parlez
mais si je considère :
x(t)=cos(t)
y(t)=sin(t)
si je me place dans le plan x0y,
alors ceci représente un cercle de rayon 1 (cercle trigo)

donc je suppose que
x(t)=cos(2t)
y(t)=sin(2t)
représente aussi un cercle .

est-ce correct ?
e suis désolé de n'arriver à rien mais j'ai du mal à manipuler ces équations paramétrées

[gg0]

" le plan z=0" n'a rien à voir avec t.
Tu as pourtant déjà fait de la géométrie analytique dans l'espace; pourquoi ne peux-tu pas traiter ces questions simplement ? et comprendre ce que je te dis ?

Si tu ne comprends pas, commence par regarder dans un plan avec un repère orthonormé ce que fait le point de coordonnées (x(t)=cos(2t),y(t)=sin(2t)) lorsque t varie de 0 à 3pi. fais le doucement, pour bien comprendre. Tu prends t=0, puis t=0,1, puis t=0,2, etc. Tu vas apprendre des choses que tu devrais trouver évidentes depuis des années.

Ensuite tu reprends ta feuille bien à plat, tu imagines un axe des z vertical, et tu reprends le même processus en rajoutant pour le point la cote z (tu as déjà l'abscisse et l'ordonnée). Bien sûr, tu ne pourras pas tracer, tu es "en l'air", mais tu verras ta courbe.

Question : Pourquoi faut-il que je te dise ça, que tu aurais pu faire spontanément pour comprendre ?

[invite4c80defd]

j'ai suivis vos conseils du mieux que j'ai pu.
j'ai trouver une forme (pour z=0): un cercle de rayon 1.
j'ai regardé si ma calculatrice pouvait faire le graphe de
x(t)=cos(2t)
y(t)=sin(2t) et j'ai obtenu un cercle de rayon 1 (centré en l'origine).
maintenant, si je me décale vers le haut, je considère par exemple z=1. je me trouve donc dans le meme plan qu'avant ,mais je suis "monté" de 1.
je recommence et je trouverait donc le meme forme.
et ainsi de suite.
j’obtiendrais (conditionnel) donc une superposition de cercles de rayon 1 centrés sur l'axe z, ce qui est une surface: je me trompes donc.
ou mon raisonnement cloche t-il ?

merci de votre aide

[gg0]

Désastreux !

Et qui montre que tu n 'as pas fait ce que je te proposais. z=1 n'arrive que lorsque t=1, donc un seul point de la courbe. Mais tu ne cherches pas vraiment à trouver, tu attends qu'on te donne la réponse.

Je renonce ! Tu auras la réponse en classe ...

[invite4c80defd]

ah oui !
a chaque point (donc à chaque t), je me décale un peu plus vers le haut.
du coup:
on aurait une courbe du style :
http://www.google.fr/imgres?imgurl=h...=0CFoQrQMwHDhk
avec le tron de l'arbre l'axe z .
et en fait, quand on regarde depuis le haut on voit le cercle dont je parlais .

est-ce correct cette fois -ci ?

[gg0]

OK !

Comme on monte régulièrement, on appelle cette courbe une hélice (tu trouveras des définitions sur Internet)

[invite4c80defd]

vousa viez raison , c'est tout bête une fois qu'on l'a trouvé.
heureusement que vous étiez-là pour m'aider, merci .

Pour la question 3:
"déterminer un paramétrage pour la courbe intersection du cône z=sqrt(x2+y2) et du plan z=1+y"
j'avais écrit:
x=r*cos(téta)
y=r*sin(téta)
z=1+r*sin(téta)

Untruc m'a dit : "dans ton ecriture, il manque la relation qui lie r et theta"
je n'ai pas tres bien saisi ce qu'il fallait rajouter pour n'avoir qu'un seul parametre (on veut une courbe)
pourriez-vous m'aider ?

merci d'avance

[invite4c80defd]

je n'ai été confronté à ce genre d'exo, mais est-il possible de faire :
on part de ce que l'on connait:
z=1+y et z=sqrt(x^2+y^2)
donc x=sqrt(z^2-y^2)

et donc, en posant y=t
z=1+y
y=y
et x=sqrt(z^2-y^2)=sqrt((1+t)^2-t^2)=sqrt(1+2t) ?

est-possible d'écrire ce genre de choses ?

merci d'avance

[invite4c80defd]

parce que si on effectue l'intersection d'un cone et d'un plan , il y a de grandes chances pour que l'on trouve une ellipse non ?
et l'équation d'une ellipse ne ressemble pas à ce que j'ai trouvé en bricolant les expressions

[gg0]

Bonsoir.

Tu connais l'équation d'une ellipse dans l'espace ?
D'autre part, ce que tu as écrit :
z=1+y
y=y
et x=sqrt(z^2-y^2)=sqrt((1+t)^2-t^2)=sqrt(1+2t)

a-t-il un rapport avec ce que tu dois faire ? Je ne vois pas de paramétrage.

N'importe comment, x=sqrt(z^2-y^2) est faux (x peut tout à fait être négatif, y aussi. Seul z est désespérément positif).

Dernière chose : Si j'ai bien vu, l'intersection n'est pas une ellipse.

Bon, maintenant, une piste :
Dans z=1+y et z=sqrt(x^2+y^2) on peut éliminer z, ce qui donne une relation entre x et y qui se simplifie bien en élevant au carré (opération dangereuse, on vérifiera à la fin). Ensuite en posant x=t, on obtient un paramétrage que l'on peut vérifier.

Cordialement.

NB : Je n'avais jamais fait ce genre de choses, il faut essayer diverses choses pour y arriver. mais une figuration géométrique (que tu ne sembles pas avoir essayé de faire) aide bien; j'y ai vu que x varie de -infini à +infini.

[invite4c80defd]

ce que je voulais écrire n'était pas cela, je me suis trompé.
je pensais à :

z=1+t
y=t
et x=sqrt(z^2-y^2)=sqrt((1+t)^2-t^2)=sqrt(1+2t)


on a donc:
z=1+y=sqrt(x^2+y^2)
ainsi, au carré, cela donne:
(1+y)²=x²+y²
et donc: 1+2y+y²=x²+y²
qui se simplifie:
y=(x²-1)/2
en posant x=t:
y=(t²-1)/2

mais alors du coup, je dois aussi poser z=t ?

merci d'avance

[gg0]

Ben non !

z n'est pas égal à x. Par contre tu sais le relier à y ...

[invite4c80defd]

ah oui.
donc on aurait:
x=t
y=(t^2-1)/2
z=1+y=1+(t^2-1)/2

est-ce mieux ainsi ?

[gg0]

C'est encore mieux si tu termines le calcul de z. Je ne devrais pas avoir à te le dire, tellement c'est un calcul évident.

[invite4c80defd]

oui cela donne pour z:
z=(1+t^2)/2.


mon exercice était en 3 parties, et grâce à vous, j'ai la méthode de résolution, mais la cas suivant et plus complexe, le voici:

il faut donner un paramétrage de la courbe intersection du cylindre d'axe Oz basé sur le cercle du plan (x0y) de rayon 3 de centre O et du plan d'équation y+z=2.
le cylindre aurait donc pour équation: x^2+y^2=9
le seul element commun aux 2 équation est y.
donc on aurait (2-z)^2=9-x^2.
et donc: 4-2z+z^2=9-x^2.
ainsi, si je pose z=t,
x^2=5+2t-t^2
et donc x= + ou - racine (5+2t-t^2).
comment dois-je faire dans un cas comme celui-ci ?


merci d'avance



je suis parti du fait que

[gg0]

Bonjour.

Dans ce cas, tu paramétrises ton cercle, puis tu en déduis z.
La courbe est une parabole.

Cordialement.

[invite4c80defd]

je ne suis pas sur de bien comprendre.
vous voudriez que je paramétrise x^2+y^2=9 puis avec la relation y+z=2, que j'en désuise z ?
mais si je part de x^2+y^2=9, comment trouver une courbe paramétrée sans rencontrer le meme souci ?
si je pose x=t,
y^2=9-t^2 et je tourne en rond....je n'ai pas du bien saisir voter explication .

merci d'avance

[gg0]

Tu ne sais pas paramétriser un cercle ? C'est quasi du cours de première. Et tu t'en es déjà servi !!!!

NB : Reprendre la dernière démarche utilisée n'est pas une attitude intelligente. Toujours réfléchir avant d'agir.

[invite4c80defd]

Comme l'exercice ressemble au précédent, je ne considérais pas absolument idiot d'essayer de reprendre la même méthode.
Pour le cercle, vous faites allusion aux équations:

x(t)=3cos(t)
y(t)=3sin(t)
et comme z=2-y,
z=2-3sin(t)

est-ce mieux ainsi ?

[gg0]

Essayer la même méthode, oui. Pas imiter.
Et quand tu as fait un début de calcul, décide toi-même si c'est utile ou pas : Tu passes ton temps à venir demander ... tu as un cerveau toi aussi. Par exemple : "est-ce mieux ainsi ?" Tu n'as pas 3 ans, tu peux décider par toi-même si tu as répondu à la question ou pas ...