Bonjour,
J'aimerai savoir comme se construit la matrice triangulaire.
Comme dans cet exemple: http://uel.unisciel.fr/mathematiques...re_ch2_03.html
A la fin, on obtient la matrice triangulaire T=
Mais je ne comprend pas d'où sort le 0, -2 et 1 (en a12, a13 et a23) ?
Merci d'avance,
La matrice T est écrite dans la base V1,V2,V3.
Les valeurs propres de A (et aussi de T puisque A et T sont semblables) sont 1 de multiplicité 1, et 2 de multiplicité 2.
Le vecteur V1 est vecteur propre de la valeur propre 1, et V2 de la vp 2.
L'auteur a choisi V1=(1,0,0) et V2=(3,1,1).
Les sous-espaces propres de chaque valeur propre sont de dimension 1, donc pour la vp 2 c'est tout. Il faut donc compléter avec un V3 qui est indépendant de V1 et V2 car V1,V2,V3 doivent former une base de R^3. L'auteur a choisi V3=(0,0,1). Ensuite il a calculé le produit AV3 = (1,1,3) et il a trouvé que c'est égal à -2V1 + 1V2 + 2V3. Il aurait aussi pu calculer (A-2I)V3 = (1,1,1) et trouver que c'est égal -2V1 + 1V2.
Donc on a: AV1 = 1V1, AV2 = 2V2 et AV3 = -2V1 + 1V2 + 2V3, et comme A et T sont semblables, on a donc aussi: TV1 = 1V1, TV2 = 2V2 et TV3 = -2V1 + 1V2 + 2V3. Donc les colonnes de T sont (1,0,0) pour colonne 1, (0,2,0) pour col 2 et (-2,1,2) pour col3.
Mais comment on trouve que c'est égal à -2V1 + 1V2 + 2V3 ? Par déduction ?
Il faut résoudre le système AV3 = aV1 + bV2 + cV3 soit (1,1,3) = a(1,0,0) + b(3,1,1)+ c(0,0,1). Ici c'est facile, à cause des zéros abondants, on doit avoir b=1 donc a=-2 et c=2 (ca se fait facilement de visu).
Il y aurait une autre facon de faire pour trouver une matrice T un peu différente de celle donnée dans l'exemple de la page web (mettre T sous la forme de Jordan), elle éviterait de résoudre un système, mais vu que ce n'est pas difficile ici, on va laisser tomber
