Prolongement d'une fonction.

[invitecbade190]

Bonjour,

J'ai besoin de trouver une démonstration à la chose suivante :

Soient et deux espaces métriques quelconques et un partie de telle que .

Soit une application continue.

Montrer qu'il existe un unique prolongement continue tel que avec à déterminer.

Merci d'avance pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

La question semble assez triviale, i est évident (en tout cas, il y a une fonction i avec i(x)=x qui convient). C'est simplement du prolongement par continuité en utilisant le fait que A est dense dans X.

Comme d'habitude sur ce forum, à toi de faire, de présenter ce que tu as fait si tu bloques.

Cordialement.

NB : Il me semble que l'unicité dépend fortement du choix de i. Pour le i que je propose, pas de problème.

[Seirios]

Bonjour,

Le résultat est faux : Notons . Alors la fonction caractéristique de définit une fonction continue qui n'admet pas de prolongement continu sur .

Par contre, ton résultat devient vrai si l'on remplace "il existe un unique prolongement continu" par "il existe au plus un prolongement continu", c'est-à-dire que si l'on sait qu'il existe, il est unique.

[gg0]

Bien vu Seirios !

Je suis allé trop vite.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Bonjour Gérard : ( Tu t'appelles Gérard, non ? )
Pour le moment, je ne sais faire que l'unicité il me semble. Je ne sais pas faire l'existence.
- Pour l'unicité :
Supposons qu'il existe deux prolongements continues : et tels que : avec : ( Existence de , il faut montrer l'unicité aussi il me semble ). Alors, : .
Donc, sur . Montrons que : .
Soient : , alors : telle que : .
Par conséquent : : . On passe à la limite lorsque tend vers , et on obtient : .
Par conséquent : : . D'où l'unicité du prolongement. Non ?
Merci d'avance.

Edit : Ah, je vois là que Serios vient de poster un nouveau message. D'accord.

[invitecbade190]

Bonjour,

Le résultat est faux : Notons . Alors la fonction caractéristique de définit une fonction continue qui n'admet pas de prolongement continu sur .

Pourquoi ta fonction n'admet pas de prolongement continue ?

Merci d'avance.

[gg0]

Cherche un peu, dessine. C'est du niveau L1.

[invitecbade190]

.
Si : admet un prolongement continue : , alors, c'est absurde, car il y'a aux moins deux composantes connexes par cette fonction sur si ta fonction de base est cotinue, non ? donc, elle n'est pas continue. pourquoi, ta fonction indicatrice est continue ?
Merci d'avance.

[inviteea028771]

pourquoi, ta fonction indicatrice est continue ?

Oui, tu prend n'importe quel point a :
1) soit f(a) = 1, alors il existe un voisinage de a sur lequel f = 1
2) soit f(a) = 0, et alors il existe un voisinage de a sur lequel f = 0