[MPSI]Equation différentielle d'ordre 2

[darkomac]

Bonsoir,

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Sujet: On désigne par une application numérique périodique de dans et on considère l'équation différentielle :



On note :
et

1. Montrer que l'équation possède une unique solution sur vérifiant

2. Démontrer que
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J'ai réussi à résoudre l'équation homogène, je trouve :
Mais je n'arrive pas à trouver la solution particulière car je ne sais pas de quelle forme est .
Vous avez un indice à me donner ?

Merci d'avance !
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[inviteea028771]

Cet exercice ne te demande pas d'utiliser la méthode "usuelle". Il n'y a pas à résoudre l'équation homogène.

Pour la 1 : Quel théorème peut tu utiliser pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution d'une équation différentielle ordinaire?

Pour la 2 : Il suffit de vérifier que phi tel que définie ici est bien solution et vérifie phi(0) = phi'(0) = 0

[darkomac]

D'accord !
Pour la 1 : Il faut utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Pour la 2 : Pour vérifier que phi est bien solution il faut juste l'injecter dans l'équation (E) et montrer que c'est égal à ?

[invite45ce855d]

Sinon, en disant que la solution de l'équation homogène est égale à (A&B étant des constantes réelles; ça se montre en utilisant les complexes...) puis en utilisant la méthode de variation des constantes, on arrive à trouver l'expression de , si c'est ça que tu voulais faire... Même si ce n'est pas nécessaire apparemment

[A voir en vidéo sur Futura]

[darkomac]

@Citu, j'ai une question pourquoi l'équation homogène est égale à ?

[inviteea028771]

D'accord !
Pour la 1 : Il faut utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Pour la 2 : Pour vérifier que phi est bien solution il faut juste l'injecter dans l'équation (E) et montrer que c'est égal à ?

Voila Et tu remarques que tu as alors une forme explicite.

Par contre en toute rigueur ton énoncé n'est pas correct : il doit manquer des hypothèses de régularité sur µ

[darkomac]

Merci Tryss ! Mais en y réfléchissant, l'énonce demande de démontrer et pas de vérifier, donc il faudrait quand même arriver à l'expression de phi par le calcul non ?

[inviteea028771]

Merci Tryss ! Mais en y réfléchissant, l'énonce demande de démontrer et pas de vérifier, donc il faudrait quand même arriver à l'expression de phi par le calcul non ?

Une vérification rigoureuse est une démonstration. L'expression de phi(x) sort juste d'un chapeau, ce qui n'est pas très satisfaisant intellectuellement parlant, mais c'est parfaitement légitime de simplement vérifier qu'elle est solution

[darkomac]

C'est vrai qu'intellectuellement parlant, j'aurai bien voulu la trouver moi même !
Je vais faire ça alors, merci

[invite45ce855d]

Or, sont des constantes complexes, qu'on peut réécrire
On a alors :
Comme on travaille dans R, on prend la partie réelle et on note, par exemple, et
et donc


J'ai peut-être fait des fautes, mais je pense que c'est de cette manière là qu'on le montre

[darkomac]

J'ai compris merci !
Et pour appliquer la méthode de la variation de la constante, tu poses quoi ?

[invite45ce855d]

Tu remplaces dans la deuxième équation, tu as donc déterminer les deux constantes, puis il te reste plus qu'à suivre la méthode => Primitive de A(x) et B(x); que tu multiplies respectivement par y₁=cosx et y₂ = sinx et tu trouves bien la solution donnée

[darkomac]

J'ai un peu compris mais on a pas vu la méthode pour l'ordre 2, tu pourrais détailler ?