Intégrale triple

[Isis-mirka]

Bnsoir à tous,
je dois aire un exo sur lequel je recontre des difficultés, peut-etre pourriez-vous m'aider.

Voici mon exo:
Par la méthodes d'intrégration par tranches, il faut calculer le volume du domaine D. (le représenter auparavant).
Le voici: D=(x,y,z) de R³ telq ue 0<=z<=1, 0<=x<=z-1 et 0<=y<=1-z².

déjà, on sait pour x, y et z qu'ils sont compris entre 0 et 1.
de plus, si on considère x=1-z, on a une droite décroissante et si y=1-z², on a une parabole décroissante.
on a les points A(1,1,0) et B(0,0,1) qui dont évidents
mais je ne parviens pas à représenter ce domaine.
si j'vais eu deux paraboles, j'aurais pu penser à un paraboloïde, mais ici...

pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance
-----

[gg0]

Déjà, tout se passe dans le domaine où x, y et z sont positifs (un huitième de l'espace). Ensuite, tu peux représenter les plans qui limitent les variations de z et x. Puis, en utilisant le plan yOz, voir les limitations sur y.
Tu représentes tout ça dans l'espace et tu auras trouvé.

Mais on ne peut pas faire le travail à ta place (*)

Cordialement.

(*) Une représentation toute faite ne t'apprendra rien.

[Isis-mirka]

Soyons clairs: je n'ai jamais demandé la réponse toute faite, je demande de l'aide (ou des éclaircissements), c'est bien différent.
J'ai essayé de suivre vos indications.
Pour x, on a un plan d'équation x=0 , qui est le plan y0z (plan de la feuille sur laquelle j'écris, car x est vers l'avant) et le plan x=1
Pour z, on a le plan x0y et le plan z=1
cela limite déjà les x et les z.
Pour y maintenant:
on a le plan y=0.
mais n'a-t-on pas aussi le plan y=1 car au maximum, y vaut 1 (quand z=0) ?
finalement, on aurait le cube de côté 1 dont mon repère x,y,z représente le coin en bas à gauche ?
dites-moi si je me trompes .

du coup, pour mon intégrale,
j'aurais:
avec a=1-z et b=1-z^2





et donc 5/12 au final ..

merci d'avance

[gg0]

Pour x, on a un plan d'équation x=0 , qui est le plan y0z (plan de la feuille sur laquelle j'écris, car x est vers l'avant) et le plan x=1

J'ai mis en gras ce qui est faux. Tu ne lis pas ton énoncé.
Tu es en train de tricher avec l'énoncé pour éviter de chercher vraiment.

Bon, dans ces conditions, est-ce utile de continuer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

J'ai essayé de trouver la valeur maximale de x.
on sait que 0<=x<=z-1
or, si 0<=z<=1, alors, x prend bien sa valeur maximale (c'est-a-dire 1) quand z vaut 0
j'ai donc pensé que tracer le plan parallèle à y0z passant par x=1 me permettais "d’encadrer" les valeurs prises par z.

mais je me suis trompé.
peut etre dois-je revenir a ce que je disais auparavant (avec ma droite et ma parabole..) mais comment alors "représenter les plans qui limitent les variations de z et x. Puis, en utilisant le plan yOz, voir les limitations sur y" ?

j'avoue que vous m'avez perdu , je ne sais plus comment faire pour arriver à quelque chose...

[topmath]

Bonjour à tous :

Bnsoir à tous,
je dois aire un exo sur lequel je recontre des difficultés, peut-etre pourriez-vous m'aider.

Voici mon exo:
Par la méthodes d'intrégration par tranches, il faut calculer le volume du domaine D. (le représenter auparavant).
Le voici: D=(x,y,z) de R³ telq ue 0<=z<=1, 0<=x<=z-1 et 0<=y<=1-z².

déjà, on sait pour x, y et z qu'ils sont compris entre 0 et 1.
de plus, si on considère x=1-z, on a une droite décroissante et si y=1-z², on a une parabole décroissante.
on a les points A(1,1,0) et B(0,0,1) qui dont évidents
mais je ne parviens pas à représenter ce domaine.
si j'vais eu deux paraboles, j'aurais pu penser à un paraboloïde, mais ici...

pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance

A mon avis faut directement remplacer les bornes de ton intégrale triple donner ci haut (en rouge) , car ils sont donner dans l'énonce d'autant , que c'est un calcule de volume c-a-d en plus il n'y'a pas de symétrie pour la figure géométrique , je veux dire absence des valeurs intermédiaire .

(sauf érreur ) .


Cordialement

[Isis-mirka]

ok , merci beaucoup, je suis maintenant sur de partir avec le bon calcul pour le volume.
Mais ce qui me pose encore problème, c'est représenter ce volume. Je n'arrives pas à me dépatouiller de toutes ces inégalités ....
j'ai bien essayé avec des plans, mais gg0 me dit que ce n'est pas bon.
auriez-vous une idée ?

merci d’avance

[gg0]

Tu n'as pas "essayé avec des plans", tu as fait n'importe quoi ! Bien sûr, x varie de 0 à 1, mais une fois connue la valeur de x, la valeur de z n'est plsu de 0 à 1. Si tu as lu l'énoncé, tu l'as vu !!
Donc ce que tu as fait c'est "je fais n'importe quoi, il y a bien quelqu'un qui donnera la solution à ma place".
D'ailleurs ça a marché, Topmaths t'a donné un corrigé. Que tu vas copier bêtement sans comprendre.
Pire, ça fait déjà quelques temps que tu fais ce genre de chose (voir des volumes dans l'espace). On peut conclure de nos interventions qu'elles n'ont servi à rien : Tu n'as rien appris

C'est pourtant simple de lire l'énoncé et de la traduire.
Juste une dernière indication, au cas où tu daignerais utiliser vraiment ton intelligence : x=z-1 est l'équation d'un plan (comme toute personne qui a fait un tout petit peu de géométrie analytique dans l'espace le sait).

NB : Je te sais bien plus intelligent que ce que tu montres ici, mais tu ne t'en sers pas beaucoup face à un exercice.

[gg0]

@ Topmath : Tu as encore perdu une bonne occasion de te taire ! Donner la solution, alors qu'IM a besoin d'apprendre à poser son intégrale triple, n'est pas lui rendre service. Sa réponse est éloquente : " je suis maintenant sur de partir avec le bon calcul pour le volume" !!
C'est d'autant plus bête qu'il y a d'autres façons de calculer cette intégrale, en changeant l'ordre des variables. Toi, tu as choisi le plus naturel et le plus simple, mais il arrive que ça ne donne pas le calcul le plus simple. Et n'importe comment IM n'a pas compris ce qu'il fait (la définition du volume).

Évite désormais de donner des solutions trop rapidement.

Cordialement.

[Isis-mirka]

attendez,
ce que topmath m'a donné est exactement l'expression que j'ai écrit avant! je n'ai pas attendu de l'avoir, puisque je l'ai écrite avant lui !

en ce qui concerne l'équation x=z-1, je m'étais placé à y=0 et je regardais la courbe engendrée dans le plan x0z. (je pensais faire des sections pour observer ce qui se passe)

mais vous avez raison: si on place pour y =1, on a toujours le meme chose, et ainsi de suite..
donc on a bien le plan dont vous parliez.
ainsi, le volume est déjà en partie délimité par ce plan incliné.
donc j'étends cette constatation pour y=1-z^2 (qui lorsque l'on se place dans le plan y0z donne bien une parabole non ? ), cela me donne une surface qui ressemblerait à un quart de cylindre dans les plans parallèles à y0z ?

vous dites que je n'ai rien appris: c'est faux. je n'avais pas pensé à effectuer des sections (x=0..) et observer ce qui passe. je sais maintenant que c'est une astuce pratique ..

[gg0]

Eh bien, s'il faut te pousser dans tes retranchements pour que tu essaies sur un nouvel exercice ce qui a marché dans un autre, la prochaine fois je serai plus méchant

Maintenant, revenons à l'énoncé : Tu as écrit : 0<=z<=1, 0<=x<=z-1
Si z est compris entre 0 et 1, z-1 est compris entre -1 et 0, et x ne peut être entre 0 et z-1 que si z=1 et x=0. Plus de volume !!

Est-ce vraiment l'énoncé ?

Autre chose : Tu avais parlé correctement de parabole (message #1), maintenant tu parles de cylindre ?? Un cylindre s'appuie sur un cercle, pas sur une parabole. Si c'était par comparaison, il aurait été plus correct d'écrire "cylindre", ou cylindre parabolique (et pas de quart de cylindre, la parabole s'en va à l'infini).

Cordialement.

[Isis-mirka]

j'ai envoyé un mail à mon prof,
l'énoncé était faux,
en fait, c'est 0<=x<=1-z et pas z-1....

je vais regarder ça et vous dirai ce que j'ai trouvé

[gg0]

Topmath avait rectifié sans le dire

Bon travail !

[Isis-mirka]

oui, excusez-moi, je n'ai pas été clair.
c'est bien d'une sorte de cylindre parabolique dont je voulais parler. quant au "quart", c'est parce que je me suis restreint au fameux cube de côté 1.
Ainsi, mon domaine de définition serait délimité par un plan incliné (dont le section dans le plan x0z donne sur la droite d'équation x=1-z ) qui se propage de y=0 à y=1. L'autre surface qui délimitera (en plus de ce plan) mon volume sera cet espèce de cylindre parabolique (dont la section dans le plan z0y donne la parabole dont j'ai parlé). (mon volume n'allant ni dans les x/y/z négatifs).

mon volume serait-il correct ?

[gg0]

Oui, c'est en gros ça.

C'est assez difficile à représenter, on coupe une sorte de cylindre qui a deux faces latérales plane et la troisième parabolique, borné par le plan yOz, par un plan parallèle à Oy. la face dans le plan xOy est un carré, dans le plan xOz un triangle rectangle isocèle, dans le plan yOz une demi arche de parabole.
La difficulté est de faire apparaître l'intersection entre le plan d'équation x+z=1 et la face parabolique. On peut regarder sa projection dans le plan xOy (les projection sur les deux autres plans ne disent rien).

Cordialement.

[Isis-mirka]

oui , j'ai rencontré cette difficulté car faire se croiser un plan incliné et un "cylindre" (dont la base n’est pas un cercle), ce n’est pas vraiment évident.

Je vous remercie de l'aide apportée.

Bonne journée