Caractère borné de la somme uniforme de fonctions bornées

[Vador1397]

Bonjour


êtes-vous d'accords avec cette démonstration que si une série de fonctions bornées sur un intervalle converge uniformément, sa somme est bornée sur cet intervalle :

on note fn les fonctions bornées sur un intervalle I, S la somme de ces fonctions et Sn la somme partielle



fn bornées donc pour tout n, il existe Mn tel quel pour tout x de I, |fn(x)|<= Mn

on a convergence uniforme donc pour tout epsilon>0, il existe N tel que pour tous x de I et n>=N, |Sn(x)-S(x)|<=epsilon

alors |S(x)|-|Sn(x)| <= ||S(x)|-|Sn(x)|| <= |S(x)-Sn(x)| <= epsilon

donc |S(x)| <= epsilon + |Sn(x)| <= epsilon + sum(|fk(x)|,k=0..n) <= epsilon + sum(Mk,k=0..n)

donc S bornée



Voilà est-ce que vous pouvez me dire si c'est juste svp, et si vous avez une autre solution plus élégante je suis preneur


ah et dsl je suis conscient que ma question est rébarbative et pas très intéressante
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas trop. Il me semble que si f_n(x)=1, la somme partielle de 0 à N vaut N+1 qui n'est pas borné.

Ah, ok ! Tout vient du uniformément. Je réfléchis plus.

Cordialement.

[gg0]

Ok !

Juste une remarque : Si epsilon est quelconque, il n'est pas évident que ta majoration est finie (la somme des M_k peut tendre vers l'infini. Il serait préférable, pour la compréhension, de fixer la valeur de epsilon, par exemple à 1.

Cordialement.

[Vador1397]

merci beaucoup gg0 pour ta réponse,

par contre je ne comprends pas comment ma somme de Mk pourrait tendre vers l'infini, vu que je prends un n fixé ? et je ne comprends pas non plus le lien avec epsilon...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Comment as-tu pris un n fixé ?

Tu as pris "pour tous x de I et n>=N", donc n est quelconque.
Même ton N n'est pas fixé puisqu'il dépend de epsilon et tu as écrit "pour tout epsilon>0, il existe N "
Une borne mobile n'est pas une borne

C'est bien ce que je te reproche : Tu as parlé en général, sans prouver que c'est borné !
Ce n'est qu'une question de présentation, mais il faut que tu la règles.

C'est d'ailleurs simple : donner une valeur à epsilon et laisser tomber n, puisque N est fixé (une fois epsilon fixé) et prendre N.

Cordialement.

[Vador1397]

ok c'est parce que dans ma tête comme mon truc était vrai pour tout n>=N je prenais un n et j'y touchais plus

j'ai bien compris ta remarque alors, merci

[gg0]

On est maintenant d'accord.

par contre, tu as intérêt à retenir que dans la communication :
émetteur .... message .... récepteur
Ce qui n'est pas dans le message n'est pas connu par le récepteur (qui déjà interprète le message, donc éventuellement le déforme). Donc ce que tu as en tête n'a aucune importance quand tu rédiges une preuve. Il n'y a que ce que tu écris qui a du sens.
C'est souvent pourquoi une preuve est refusée. Elle est incomplète ou rédigée de travers.

Cordialement.

[Vador1397]

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