Calcul d'intégrale

[Isis-mirka]

Bonsoir à tous,
je susi train de faire un exo sur lequel je renconte un problème.
Il faut calculer l'intégrale triple de zdv sur un domaine D tétraèdre
Seulement , voici D: (x,y,z) de R3 tels que x>=0 , y>=0 , z>=0 et x+y+z>=1
je pensais intégrer par rapport à z par exemple en premier en exprimant les bornes en fonction de x et y, puis intégrer sur y en exprimant les bornes en fonction de x et intégrer sur x avec x prenant deux valeurs indépendantes de x, y ou z.

pour z, pas de problème, on a deux conditions sur définissent deux bornes
mais je manque d'équations pour les deux autres. J'ai essayé d'utiliser le fait que l'on parle d'un tétraèdre, mais je ne parviens pas à établir une autre relation qui me débloquerais la situation.

quelqu'un aurait-il une piste ?

merci d'avance
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[gg0]

Bonsoir.

Tu as pris les choses à l'envers. Comme les lettres jouent des rôles identiques, je reprends ta succession :
intégrer par rapport à z : z varie de .. à ... (quelq que soient x et y, ils seront traités après)
Intégrer quoi ? le reste. Donc une intégrale sur y qui varie de ... à ... (connaissant la valeur de z, quel que soit x) qui contient ... une intégrale sur x qui varie de ... à ... (connaissant les valeurs de y et z).

Cordialement.

[Isis-mirka]

je ne suis pas sur d'avoir compris votre message
je reconnais que je n'ai pas été clair dans ce que j'ai dit.
Si je vous suis, je ferais l'intégrale selon dxdydz et non pas dzdydx comme je voulais faire ?
mais je ne vois pas très bien en quoi changer l'ordre me renseignera davantage sur les bornes.
car l'intégrale du "centre" (en dx) aura les bornes 0 et 1-z-y ?
cela donnerai pour cette intégrale 1-z-y qu'il me faut intégrer en dydz pour lesquelles je n'ai pas les bornes supérieures


Merci de votre aide

[gg0]

Voyons, y, tu sais maintenant que tu n'as plus x entre quelles valeurs il varie.

le principe, c'est que dans chaque intégrale intérieure, les variables d'intégration des intégrales extérieures sont considérées comme fixées.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

si vous dites que je n'ai plus x, cela reviendrait à dire que y varie entre 0 et 1-z ?
j'ai quelques doutes sur ce que j'écris . peut-etre ai-je compris de travers votre message

merci

[untruc]

1- ceci est un tetraedre infini.
2- le domaine du tétraèdre est symetrique par rapport aux x , y z. Tu choisis l'ordre d'integration qui rend le calcul de tes integrales le plus facile. l'odre dépend de la forme de ta fonction.
3- a supposer que tu as decidé d'integrer par rapport a z en premier.
\int_{x>0}dx \int_{y>o}dy \int_{z>1-x-y}dz fonctionmachin(x, y, z)

une fois l'integration faite par rapport a x il te reste

\int_{x>0}dx \int_{y>o}dy fonctiontruc(x, y)
il n'y a a priori aucune contrainte liant x et y, du intègre par rapport a y sur R+, puis par rapport a x sur R+

[gg0]

J'avais bien entendu supposé qu'il s'agissait bien de x+y+z<=1.

[Isis-mirka]

oui gg0 vous avez raison, j'ai mal écris l'énoncé.
la réflexion de Untruc est valable pour x+y+z>=1 je suppose car on intègre sur R+ pour x et y , n'est-ce pas ?
que dois-je donc faire pour x+y+z>=1 car mon domaine est réduit , je ne peux pas intégrer sur tout R+ , si ?

Merci d'avance

[gg0]

C'est >= ou <= ?

Pour <= je t'ai suffisamment détaillé. Fais un dessin de ton tétraèdre avec ses axes et regarde, ou attends la correction en classe.

Cordialement.

[Isis-mirka]

je me suis encore trompé, désolé.
c'est bien x+y+z<=1.
j'ai fait un dessin.
sur ce dessin, on se restreint déjà un 1/8 ème de l'espace car les 3 variables sont positives.
j'ai donc fait un tétraèdre quelconque dans ce domaine .
la seule chose que je sais , c'est que la somme des 3 variables ne doit pas dépasser 1.
je peux dire que quoi qu'il arrive, je la hauteur de ce tétraèdre ne dépassera pas 1.
si je connaissais un plus la forme, on pourrais peut etre etre plus précis, mais là, on a pour ainsi dire quasiement aucun renseignment pour faire un schéma correct...

[gg0]

Tant que tu feras des choses sans rapport avec l'énoncé, tu perdras ton temps.

Si je comprends bien depuis le début tu n'as pas regardé comment est fait ton domaine ? Et tu voudrais qu'on t'aide ? Tu n'es pas sérieux

Cela fait quelques temps que tu as à regarder comment sont faites des zones de l'espace, à chaque fois tu as attendu qu'on détaille la situation à ta place. Tu n'y arriveras pas en regardant faire les autres. Bouge-toi les méninges

[untruc]

on reprend donc:
\int_{x>0}dx \int_{y>0}dy\int_{0<z<1-x-y} dz fonctionmachin(x,y,z)
en fait ici,
\int_{x>0}dx \int_{y>0}dy fonctiontruc(x, y)
rien ne change. neanmois, fonctiontruc(x,y) est nulle quand 1-x-y<0, ie x+y>1.
c'est l'a que tu t'embrouilles. Mais en fait tout dépend de comment du ecrit la fonctiontruc(x,y)

si tu l'as ecris de telle sorte qu'elle est nulle sur x+y>1, tu intègre x>0, y>0
si tu l'as ecris sous forme fonctiontrucpirme(x, y) Indicateur(x+y<1), dans ce cas tu fais attention et tu integre
y de [0, 1-x]
puis x entre [0 . 1]

[Isis-mirka]

Je vous remercie beaucoup pour les précisions que vous m'apportez mais il doit y avoir un souci avec le code, car je n'arrives pas à voir ce que vous vouliez me dire .
serait-il possible de rendre plus compréhensible ce message ?

merci d'avance

[topmath]

Bonjour à tous :

@Isis-mirka :J'aimerai bien avoir le résultat numérique de cette intégrale juste pour voir et merci d'avance .

Cordialement

[Isis-mirka]

je vous le communiquerai bien volontiers lorsque j'aurai fini le calcul.
Attendons si Untruc peut afficher son message plus clairement (à moins qu'il s'agisse d'un problème technique...) pour que je comprenne mieux ce qu'il voulais gentiment me dire

[Isis-mirka]

je suis arrivé à capter quelques informations qui m'ont permis de débloquer la situation.
j'ai donc trouvé 1/24 pour cette intégrale.

Merci à tous ceux qui m'ont aidé.

Bonne journée