Paternité d'un nouveau théorème (sur les nombres premiers)

[CM63]

Bonjour,

Je pense avoir découvert (ou inventé? Comment dit-on?) un théorème sur les nombres premiers. Évidemment je ne suis pas sûr d'en être l'auteur, il est possible que quelqu'un d'autre l'ait découvert avant moi. J'ai fait quelques recherches rapides sur le web et je n'ai rien trouvé en rapport avec ce théorème.

Pour en avoir le cœur net, outre d'autres recherches plus approfondies, j'ai l'intention de le publier sur différents supports, notamment sur le présent forum, afin de demander l'avis au public de ces supports sur l'originalité du théorème, et ce que je dois faire pour en répertorier la paternité s'il y a lieu.

Auparavant, je vais prendre un certain nombre de précautions, et suivre l'un des conseils indiqués dans cette rubrique: je vais m'envoyer une lettre recommandée décrivant le théorème et sa démonstration.

Il est possible, grâce au service de "la poste en ligne", de se faire un tel envoi de façon électronique. Dans ce service, on nous dit que "la preuve d'envoi est conservée 4 ans". J'ai une première question: à quoi sert cette preuve? Que se passe-t-il après 4 ans? La lettre recommandée n'a plus de valeur? Je suppose que si, alors à quoi sert cette preuve d'envoi? Qu'est-ce qu'on perd après 4 ans?

J'aimerais également quelques conseils sur la façon de rédiger la lettre. Je suppose que je vais mettre quelque chose comme:

La présente lettre certifie que le soussigné a découvert et démontré lui-même le théorème ci-après présenté, sans avoir {"puisé" | "emprunté" | "pris"} ? l'idée sur aucune publication tierce.

Voyez-vous quelque chose à ajouter?

Merci de votre aide.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Je pense avoir découvert (ou inventé? Comment dit-on?) un théorème sur les nombres premiers.

Cela dépend des courants philosophiques !

Cordialement

[invite5161e205]

Pour couvrir une découverte, le service de la poste en ligne ne sera pas suffisant. J'ai envoyé un colis suivi qui a été déclaré livré par la poste, et non livré par le destinataire. La poste a refusé de me produire une attestation écrite. Le suivi électronique n'est pas un RAR.

Par ordre de pertinence et de coût, tu peux soit :

- t'envoyer à toi-même un RAR et ne pas l'ouvrir. Mais ca me parait encore un peu léger.
- faire une enveloppe soleau. Ca existe précisément pour ce cas de figure, et donne un bon niveau d'authenticité.
- déposer chez un huissier

Le brevet n'étant pas accessible aux découvertes mathémathiques, la question du dépot ne se pose pas.

[invite5161e205]

Pour plus d'infos, les organismes spécialisés sont l'INPI et l'ANVAR. Cependant ils n'ont pas d'engagement de confidentialité, et donc il n'est pas recommandé de leur faire part du contenu précis à protéger.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a547b27]

Salut,

Ou plus simple,

Publie ici, ton théorème crypté de la façon de ton choix (prend une grande clef).

Et le tour est joué.

[invite0a547b27]

Ne prends pas non plus une clef trop grande.

[CM63]

Bonjour,

Si le forum de FS peut faire autorité en matière d'antériorité, il n'est pas nécessaire d'y publier mon théorème en crypté, il suffit de le publier en clair. Mais je ne pense pas que ce soit le cas.

A plus.

[CM63]

Bonjour,

Pour plus d'infos, les organismes spécialisés sont l'INPI et l'ANVAR. Cependant ils n'ont pas d'engagement de confidentialité...

Ben évidemment puisque le principe d'un brevet est de divulguer. Mais ils ont autorité en matière d'antériorité, même pour des choses non brevetables comme un théorème. Ils peuvent être dépositaires d'un document qui atteste que telle personne a eu telle idée à telle date.

A plus.

[Médiat]

Bonjour,

Il est possible, grâce au service de "la poste en ligne", de se faire un tel envoi de façon électronique. Dans ce service, on nous dit que "la preuve d'envoi est conservée 4 ans". J'ai une première question: à quoi sert cette preuve? Que se passe-t-il après 4 ans? La lettre recommandée n'a plus de valeur? Je suppose que si, alors à quoi sert cette preuve d'envoi? Qu'est-ce qu'on perd après 4 ans?

Je suppose que la poste purge ses espaces de stockage régulièrement, néanmoins vous conservez la lettre physique que vous vous êtes envoyée (et qu vous n'avezpas ouverte), et c'est elle qui fera la preuve de votre parternité (enveloppe Soleau est plus sûre)

[CM63]

Bonjour,

Bon, je crois que je ne vais pas faire une dépense de 15 euros pour cela, tant pis si on usurpe ma paternité (s'il y a lieu). Je compte sur les archives du forum de FS pour éventuellement servir de base d'antériorité, au besoin.

Je vais d'abord publier le théorème sur le forum de FS, attendre d'éventuelles infos sur l'antériorité, puis le publier sur une revue en l'absence de ces dernières.

Je suis à vous, il faut que je me refasse la main avec LaTeX.

A plus

[CM63]

Re,

Voici l'énoncé du théorème:

Tout nombre réel positif x admet un développement unique selon la formule:



où chaque coefficient a_p est pris le plus grand possible parmi {0,1,2,...,p-1} (1) .


Sans la condition (1), on n'a pas l'unicité.

Les coefficients a_p peuvent être nuls à partir d'un certain rang, dans ce cas la série est limitée.

La série est illimité pour un nombre irrationnel, mais elle peut très bien l'être également pour un rationnel, voire pour un entier.
Elle ne peut donc pas être utilisée pour calculer un nombre (tel que ou ), car l'expression du terme général de la série n'a rien d'évident.

Le résultat est simplement théorique.

Au prochain post je vous donne des exemples.

A plus.

[CM63]

Re,

J'ai calculé numériquement le début des développements de certains nombres:











Je peux poster la démonstration, mais est-ce conforme à la charte? Il est interdit d'exposer une théorie personnelle, mais ici, il s'agit d'un théorème, merci aux modérateurs de me renseigner.


A plus.

[gg0]

Bonsoir CM63.

Sans démonstration, ce n'est pas un théorème, seulement une affirmation. la démonstration sera sans doute plus éclairante que les exemples, qui ne disent rien (pas de règle permettant de savoir quel est la fraction suivante).

Cordialement.

Cordialement.

[Seirios]

Bonsoir,

Juste une remarque :

Il me semble plutôt facile de montrer que, pour toute suite positive , on peut écrire n'importe quel réel positif sous la forme où est un entier. Pour cela, il suffit de prendre assez grand pour que , puis prendre un tel que et définit comme le plus petit entier vérifiant , etc. On définit ainsi une suite convergeant vers .

[Médiat]

Bonjour,

Pas de problème pour poster une démonstration, mais il serait bon aussi d'expliquer l'intérêt, car des séries particulières pouvant converger vers n'importe quel réel, il en existe des tonnes ...

[minushabens]

salut,

la série S = 1/2, 1/3, 1/3, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/7... diverge. Et les sommes dans ton théorème sont les sommes de sous-séries de S. Ton résultat découle d'un théorème connu, à savoir que de toute série divergente de réels positifs dont les termes tendent vers zéro, on peut extraire une sous-série convergeant vers un réel quelconque positif donné.

edit : pas vu les réponses de Seirios & Médiat...

[Seirios]

Pour être plus précis, il s'agit du théorème de réarrangement de Riemann.

[invite7c1128b1]

Bonsoir,

Si c'est bien un théorème, je pense que ce n'est pas un théorème sur les nombres premiers, mais un théorème qui se sert des nombres premiers.

De plus, je ne vois pas ce que l'utilisation des nombres premiers peut apporter dans ce cas de figure.

Un argument qui permet d'assurer la convergence de toute somme de ce genre provient du fait qu'il existe une infinité de nombres premiers (ce fait est très bien connu depuis Euclide notamment).

Pour la question de l'unicité (à l'ordre des termes près), elle est assurée par une bien belle astuce, mais je pense que cet élément est aussi facile à développer.

Maintenant, je pense que cet artéfact est un très bon point de départ pour analyser les conditions pour lesquelles une série illimitée fini par donner un rationnel ou un entier, ce qui semble être très intéressant.

Pour la petite anecdote, c'est une petite hypothèse de rien du tout que Riemann avait laissée en suspens dans un article fondateur de quelques pages qui fais actuellement se casser la tête de bien des chercheurs. Est-ce le cas ici ?

Edit : Eh bien, sur le temps que j'ai prévisualisé ma réponse, Mediat, Minushabens et Seirios ont donnés les arguments que je n'ai fais qu'évoquer. Je rajoute juste le texte que j'ai prévisualisé tel quel en insistant sur le développement des conditions pour lesquelles une série illimitée fini par donner un rationnel ou un entier

[CM63]

Bonsoir,

Merci pour vos commentaires. Je posterai la démonstration demain. Juste une remarque sur la façon de calculer les coefficient:
- soit X le nombre dont je veut construire la série:
- pour déterminer le coefficient de 1/p:
- si le fait d'ajouter 1/p à la somme dépasse le nombre X, je prend 0 comme coefficient pour ce nombre premier,
- si le fait d'ajouter 1/p à la somme reste inférieur au nombre X, je prends l'entier le plus grand entier parmi {1,2,..,p-1} qui vérifie encore cette propriété,

Il ne me semble pas que la méthode soit "n'importe comment pourvu que ça marche", il me semble qu'elle est bien précise.
Je ne pense pas que ce théorème se place dans le cadre du théorème des réarrangements de Riemann: je ne me contente pas de modifier l'ordre d'une série convergente, je la construits de toute pièce.

Bonsoir,
Si c'est bien un théorème, je pense que ce n'est pas un théorème sur les nombres premiers, mais un théorème qui se sert des nombres premiers.

Je suis d'accord pour ne pas parler des nombres premiers dans le nom du théorème.

De plus, je ne vois pas ce que l'utilisation des nombres premiers peut apporter dans ce cas de figure.

Si on ne prend pas des nombres premiers, on perd l'unicité.

Pour la question de l'unicité (à l'ordre des termes près), elle est assurée par une bien belle astuce, mais je pense que cet élément est aussi facile à développer.

L'unicité est assurée en conservant l'ordre de la définition, je ne présume rien si on s'amuse à changer l'ordre. Quant à la définition du coefficient, je l'ai redéveloppée ci-dessus de façon rigoureuse.

Bonsoir CM63.

...(pas de règle permettant de savoir quel est la fraction suivante).

Si, la règle permettant de calculer le coefficient suivant est très précise.

Bonjour,

Pas de problème pour poster une démonstration, mais il serait bon aussi d'expliquer l'intérêt, car des séries particulières pouvant converger vers n'importe quel réel, il en existe des tonnes ...

Merci Mediat pour ton autorisation, je posterai la démonstration demain. Pour l'instant je ne vois pas d'application. Je pourrais en revanche vous dire d'où je suis parti: je suis parti de la décomposition d'un rationnel en éléments simples, puis je me suis inspiré de l'écriture d'un nombre inférieur à 1 dans une base (le coefficient a_n est le premier "chiffre" de cette écriture. Ensuite, pour montrer la convergence pour un nombre supérieur à 1, il suffit de dire que la série que j'ai définie peut majorer une série divergente: la série des inverses des nombres premiers, elle peut donc atteindre n'importe quel nombre).

Bonne soirée.

[minushabens]

- si le fait d'ajouter 1/p à la somme dépasse le nombre X, je prend 0 comme coefficient pour ce nombre premier,
- si le fait d'ajouter 1/p à la somme reste inférieur au nombre X, je prends l'entier le plus grand entier parmi {1,2,..,p-1} qui vérifie encore cette propriété,

cet algorithme permet de trouver les coefficients séquentiellement, mais pas de connaître directement un coefficient donné.

Je remarque que dans le développement de 1 les coefficients que tu as calculés sont égaux à 1. Je me demande si c'est un hasard ou si c'est vrai de tous les coefficients, et si on peut le prouver.

[CM63]

Bonsoir,

cet algorithme permet de trouver les coefficients séquentiellement, mais pas de connaître directement un coefficient donné.

Et alors?

Je remarque que dans le développement de 1 les coefficients que tu as calculés sont égaux à 1. Je me demande si c'est un hasard ou si c'est vrai de tous les coefficients, et si on peut le prouver.

En fait "il est probable" (là je n'ai pas la démonstration) que, pour un nombre "assez grand", typiquement supérieur à quelques unités, les premières fractions soient de la forme (p-1)/p , celles de la fin de la forme 1/p, et entre les deux on ait des termes en n/p avec n "entre" 1 et p.

On notera par ailleurs que un nombre tel que 1/p où p est premier, est, bien entendu, sa propre décomposition selon la formule, et que cette dernière est limitée: résultat trivial. Mais en revanche, je crois pouvoir trouver deux nombres premiers p₁ et p₂ qui soient absents de la décomposition d'un nombre de la forme .

A plus.

[gg0]

Ton théorème n'est qu'un cas particulier du théorème évoqué par Seirios (message #14) qui est un exercice simple pour étudiant scientifique. les nombres premiers n'interviennent pas en tant que premier, mais seulement comme suite qui tend vers l'infini.
Donc tu as découvert seul une propriété simple, sans doute utilisée de nombreuses fois avant toi sans la parer du nom de théorème (par exemple pour l'écriture décimale d'un réel entre 0 et 1). C'est bien, mais ce n'est pas une propriété des nombres premiers.

Cordialement.

[CM63]

Bonsoir,

Ton théorème n'est qu'un cas particulier du théorème évoqué par Seirios (message #14) qui est un exercice simple pour étudiant scientifique.

C'est en effet un cas particulier, dans lequel je précise la façon de calculer le coefficient a_p .

les nombres premiers n'interviennent pas en tant que premier, mais seulement comme suite qui tend vers l'infini.

Si on ne prend pas les nombres premiers, on perd l'unicité.

Donc tu as découvert seul une propriété simple, sans doute utilisée de nombreuses fois avant toi sans la parer du nom de théorème (par exemple pour l'écriture décimale d'un réel entre 0 et 1). C'est bien, mais ce n'est pas une propriété des nombres premiers.
Cordialement.

C'est une propriété des nombres premiers, par construction de la série.

Bonne soirée.

[Médiat]

Bonjour,

Quelques remarques :

1. Il est d'usage, pour ce genre de séries, de considérer , et c'est seulement la partie fractionnaire qui est prise en compte par la suite, on aurait par exemple et .
2. Ce genre de suites permet de définir à partir de et sans passer par , peut-on définir facilement l'addition, la multiplication (etc.) avec cette définition ?
3. Ce n'est pas une propriété des nombres premiers puisque ceci marcherait avec toute suite croissante d'entiers (les nombres pairs par exemple, ou les puissances de 2). D'ailleurs la démonstration que vous avez en tête marche sans doute avec très peu de modifications d'écriture pour n'importe quelle suite croissante.
4. Voir, par exemple les travaux de Soichi Ikeda ou des Knopfmacher père et fils (pour remonter plus loin dans le temps : Engel, Pierce, Sylvester, Lüroth, Cantor ...)
5. Je vois un défaut majeur à cette suite particulière (les nombres premiers) : toutes les suites ne correspondent pas à un réel, par exemple ; c'est peut-être un moyen de définir une extension de , mais dans ce cas la définition des opérations est obligatoire.

[Médiat]

Je remarque que dans le développement de 1 les coefficients que tu as calculés sont égaux à 1. Je me demande si c'est un hasard ou si c'est vrai de tous les coefficients, et si on peut le prouver.

C'est dû au fait qu'il y a toujours un nombre premier entre p et p/2 (exclu).

Les coefficients > 1 ne servent qu'à la partie entière du nombre à représenter

[CM63]

Bonjour,

Merci Mediat pour ces commentaires.

Bonjour,

Quelques remarques :

Il est d'usage, pour ce genre de séries, de considérer , et c'est seulement la partie fractionnaire qui est prise en compte par la suite, on aurait par exemple et .

Oui, j'avais abandonné cette idée, je ne sais trop pourquoi, mais ce serait plus conforme à ce qui m'a inspiré : la décomposition de fractions en éléments simples: il faut bien séparer la partie entière, cela éviterait d'avoir un grand nombre de termes en (p-1)/p au début de la série, qui "courent après" un grand nombre. Je retiens l'idée.

Ce genre de suites permet de définir à partir de et sans passer par , peut-on définir facilement l'addition, la multiplication (etc.) avec cette définition ?

Je vais y réfléchir, le fait de séparer la partie entière va peut-être faciliter les choses.

Ce n'est pas une propriété des nombres premiers puisque ceci marcherait avec toute suite croissante d'entiers (les nombres pairs par exemple, ou les puissances de 2). D'ailleurs la démonstration que vous avez en tête marche sans doute avec très peu de modifications d'écriture pour n'importe quelle suite croissante.

Le fait d'avoir recours aux nombres premiers assure l'unicité de la décomposition. Sinon, si certains des dénominateurs ont des diviseurs communs, on perd l'unicité. Il s'agit donc bien d'un théorème sur les nombres premiers (je reviens là dessus, je vais conserver cette dénomination, contrairement à ce que j'ai dit plus haut).

Voir, par exemple les travaux de Soichi Ikeda ou des Knopfmacher père et fils (pour remonter plus loin dans le temps : Engel, Pierce, Sylvester, Lüroth, Cantor ...)

Merci pour ces références. Peux-tu éventuellement m’aiguiller sur tel ou tel ouvrage? Je vais commencer par consulter les articles de Wikipedia sur ces auteurs.

Je vois un défaut majeur à cette suite particulière (les nombres premiers) : toutes les suites ne correspondent pas à un réel, par exemple ; c'est peut-être un moyen de définir une extension de , mais dans ce cas la définition des opérations est obligatoire.

Je ne comprends pas cette remarque , où p est premier (ou pas), n'est-il pas un réel?

Bonne journée.

[Médiat]

Le fait d'avoir recours aux nombres premiers assure l'unicité de la décomposition. Sinon, si certains des dénominateurs ont des diviseurs communs, on perd l'unicité. Il s'agit donc bien d'un théorème sur les nombres premiers (je reviens là dessus, je vais conserver cette dénomination, contrairement à ce que j'ai dit plus haut).

On peut toujours assurer l'unicité, par une règle spécifique ; prenez comme exemple la suite des puissances de 2 la décomposition d'un réel x n'est rien d'autre que l'écriture binaire de x, en s'assurant de ne pas prendre l'écriture impropre, l'unicité est garantie.

Merci pour ces références. Peux-tu éventuellement m’aiguiller sur tel ou tel ouvrage? Je vais commencer par consulter les articles de Wikipedia sur ces auteurs.

Une recherche internet sur <real numbers Engel expansion> en remplaçant successivement Engel par les noms que j'ai cité donne des tonnes de référence

Je ne comprends pas cette remarque , où p est premier (ou pas), n'est-il pas un réel?

Si, mais la somme associée diverge, je voulais attirer l'attention sur le fait que vous définissez une application qui à un réel associe une suite d'entiers, qui n'est pas une bijection ; il serait intéressant de définir à quelles conditions sur , cette suite correspond bien à un réel.

[eudea-panjclinne]

Ce théorème et l'idée de développer un réel positif en suite d'inverses de premiers me parait intéressante (au moins pour la beauté de la chose). Selon le résultat que l'on obtient peut-on discerner une loi concernant la suite des dénominateurs ?
La suite des inverses des premiers étant lentement divergente, trouver une telle loi qui donnerait un résultat réel connu serait, je pense, déjà pas mal.
Au fait, y a-t-il eu dans le passé ou actuellement des recherches sur une sujet du même genre ?

[CM63]

Bonjour,

Milles excuses, Mediat, je réponds d'abord au post de eudea-panjclinne d'abord, car c'est plus rapide, je répondrai au tiens par la suite.

Ce théorème et l'idée de développer un réel positif en suite d'inverses de premiers me parait intéressante (au moins pour la beauté de la chose). Selon le résultat que l'on obtient peut-on discerner une loi concernant la suite des dénominateurs ?

Ainsi que pour la suite des numérateurs. Je réfléchie à la chose, le fait d'extraire la partie entière, comme me conseille Mediat, va peut-être m'aider, en tout cas simplifier la formule.

La suite des inverses des premiers étant lentement divergente, trouver une telle loi qui donnerait un résultat réel connu serait, je pense, déjà pas mal.
Au fait, y a-t-il eu dans le passé ou actuellement des recherches sur une sujet du même genre ?

Je me renseigne là dessus.

Bonne journée.

[minushabens]

C'est dû au fait qu'il y a toujours un nombre premier entre p et p/2 (exclu).

ah oui bien vu.