Paternité d'un nouveau théorème (sur les nombres premiers)

[CM63]

Bonjour,

On peut toujours assurer l'unicité, par une règle spécifique ; prenez comme exemple la suite des puissances de 2 la décomposition d'un réel x n'est rien d'autre que l'écriture binaire de x, en s'assurant de ne pas prendre l'écriture impropre, l'unicité est garantie.

Oui, mais l'intérêt du théorème n'est pas de trouver un moyen de rendre convergente et unique une série qui "en générale ne l'est pas" (comme la série des inverses des nombres premiers).

L'intérêt du théorème, venons-y donc, est de trouver un développement particulièrement simple d'un réel positif, en utilisant "peu de moyen", un peu comme les fractions continues. Et il me semble que le résultat est particulièrement sobre et élégant(1). On n'utilise aux numérateurs que des nombres premiers, sans exposant, et aux numérateurs que des entiers positifs ou nul strictement inférieurs à leur dénominateurs.

Une recherche internet sur <real numbers Engel expansion> en remplaçant successivement Engel par les noms que j'ai cité donne des tonnes de référence

Justement, c'est cela le problème: les tonnes! Mes 5 années dans l'exercice de la profession de documentaliste scientifique me suffisent pour réaliser l'impuissance des moteurs de recherche sur les documents papier scanérisés, à moins que quelqu'un ait travaillé sur "l'océrisation et la LaTeXisation des documents mathématiques anciens" , tiens ce serait un sujet de thèse intéressant .

Si, mais la somme associée diverge, je voulais attirer l'attention sur le fait que vous définissez une application qui à un réel associe une suite d'entiers, qui n'est pas une bijection ; il serait intéressant de définir à quelles conditions sur , cette suite correspond bien à un réel.

Dire qu'on n'a pas une bijection c'est dire que la décomposition n'est pas unique. Or même dans le cas de , la décomposition est unique: le seul moyen de prendre a_n le plus grand possible parmi {0,1,2,...,p-1} est de le prendre égal à p-1. On obtiens donc non pas une, pas la décomposition de selon la formule : la série des (p-1)/p .

Mais bon, le résultat est marginal étant donné que désormais on travaille sur [0,1]. Tout au plus pourrais-je regarder si on peut trouver une relation entre la décomposition d'un réel x positif et inférieur à 1, et celle de la partie fractionnaire de son inverse.

Je vais reformuler le théorème en tenant compte de la partie entière et, peut-être avant le week-end enfin poster la démonstration.

Bonne journée.
(1) : je parle du résultat, pas de moi, encore que
-----

[geometrodynamics_of_QFT]

la partie entière est une fonction "ingérable" qui vous conduira tout droit à la fonction zeta...
pourquoi ne pas essayer de contourner l'introduction de cette fonction?

CM63, vous semblez calé sur le sujet des nombres premiers...que pensez-vous de ce raisonnement?
(considérez le cas général de la factorisation comme l'application récursive de cette méthode)
Je m'excuse d'ores et déjà de faire "de la pub", mais j'aimerais avoir l'avis d'un mathématicien "expérimenté"....
Après quoi je n'interviendrai plus de manière intempestive sur un fil auquel je n'apporte pas grand chose....
Je vous remercie -ment

[CM63]

Bonjour,

la partie entière est une fonction "ingérable" qui vous conduira tout droit à la fonction zeta...
pourquoi ne pas essayer de contourner l'introduction de cette fonction?

C'est bien ce que j'ai fait, en suivant le conseil de Mediat, en séparant la partie entière et en ne m'intéressant qu'à la partie fractionnaire d'un réel.

CM63, vous semblez calé sur le sujet des nombres premiers...que pensez-vous de ce raisonnement?
(considérez le cas général de la factorisation comme l'application récursive de cette méthode)
Je m'excuse d'ores et déjà de faire "de la pub", mais j'aimerais avoir l'avis d'un mathématicien "expérimenté"....
Après quoi je n'interviendrai plus de manière intempestive sur un fil auquel je n'apporte pas grand chose....
Je vous remercie -ment

Désolé, je n'ai pas le temps de regarder ce sujet, qui semble également très intéressant .

Bon courage.

[Médiat]

Oui, mais l'intérêt du théorème n'est pas de trouver un moyen de rendre convergente et unique une série qui "en générale ne l'est pas" (comme la série des inverses des nombres premiers).

L'intérêt du théorème, venons-y donc, est de trouver un développement particulièrement simple d'un réel positif, en utilisant "peu de moyen", un peu comme les fractions continues. Et il me semble que le résultat est particulièrement sobre et élégant(1). On n'utilise aux numérateurs que des nombres premiers, sans exposant, et aux numérateurs que des entiers positifs ou nul strictement inférieurs à leur dénominateurs.

Mais votre suite aussi impose des règles (sinon cela ne marche pas), c'est d'ailleurs normal, et elle est loin d'être simple, puisqu'il faut connaître la liste des nombres premiers

Dire qu'on n'a pas une bijection c'est dire que la décomposition n'est pas unique. Or même dans le cas de , la décomposition est unique: le seul moyen de prendre a_n le plus grand possible parmi {0,1,2,...,p-1} est de le prendre égal à p-1. On obtiens donc non pas une, pas la décomposition de selon la formule : la série des (p-1)/p .

Non cela veut dire que des suites d'entiers ne correspondent pas à un réel, par exemple la suite ne converge pas !

[CM63]

Bonjour,

Non cela veut dire que des suites d'entiers ne correspondent pas à un réel, par exemple la suite ne converge pas !

Je ne m'intéresse pas à la série dans laquelle le coefficient a_p serait défini de façon quelconque, mais uniquement pris le plus grand possible parmi {0,1,2,...,p-1} pour atteindre x sans le dépasser.

Bonne journée.

[Médiat]

Bonjour,

Ce que j'essaye de vous expliquer c'est qu'il existe des tonnes d'ensembles de suites entières telles qu'il existe une bijection entre cet ensemble et les réels (ce qui permet de les construire), un excellent exemple est donné par les fractions continues ; ce que vous proposez c'est une injection non surjective qui a un réel associe une suite, ce qui est possible à partir de n'importe quelle suite croissante, donc, à moins que vous ne soyez capable de caractériser votre ensemble de suites (sans passer par les réels) de telle sorte que votre application devienne une bijection, je n'en vois pas l'intérêt !

[CM63]

Bonjour,

En essayant d'élaborer la démonstration, je me suis rendu compte que le recours aux nombres premiers n'était nullement nécessaire pour assurer l'unicité, contrairement à ce que je disais. En fait, j'ai l'impression que cela marcherait pour toute suite d'entier strictement croissante au dénominateur, à condition bien entendu que l'on conserve la méthode de choix de a_n (je n'écris plus a_p maintenant): le plus grand possible parmi {0,1,2,...,n-1} pour atteindre x sans le dépasser. Et cela même si la série obtenue en prenant a_n=1 (qui ne m'intéresse pas) diverge: notamment avec la suite des entiers naturels ou avec la suite des nombres premiers.

Restons dans le cas de la suite des entiers naturels et reformulons le théorème, qui, désormais, n'a plus rien à voir avec les nombres premiers:

Tout nombre réel positif x et inférieur à 1 admet un développement unique selon la formule:



où chaque coefficient a_n est pris le plus grand possible parmi {0,1,2,...,p-1} pour atteindre x sans le dépasser.

Je vais regarder ce que cela donne numériquement pour certains nombres, avant de reprendre la démonstration.

Et je créerai une autre discussion puisqu'il n'est plus question de nombres premiers.

Merci de votre participation.

[CM63]

Bonjour,

Bonjour,

Ce que j'essaye de vous expliquer c'est qu'il existe des tonnes d'ensembles de suites entières telles qu'il existe une bijection entre cet ensemble et les réels (ce qui permet de les construire), un excellent exemple est donné par les fractions continues ; ce que vous proposez c'est une injection non surjective qui a un réel associe une suite, ce qui est possible à partir de n'importe quelle suite croissante, donc, à moins que vous ne soyez capable de caractériser votre ensemble de suites (sans passer par les réels) de telle sorte que votre application devienne une bijection, je n'en vois pas l'intérêt !

L'ensemble de suites me semble parfaitement caractérisé par la méthode de déterminantion du coefficient a_n.

Bonne journée.

[gg0]

je me suis rendu compte que le recours aux nombres premiers n'était nullement nécessaire pour assurer l'unicité, contrairement à ce que je disais. En fait, j'ai l'impression que cela marcherait pour toute suite d'entier strictement croissante au dénominateur, à condition bien entendu que l'on conserve la méthode de choix de a_n

Cela t'a été dit plusieurs fois. La première fois une heure et demie après l'énoncé de ton "théorème", par Seirios (Message #14). Il utilisait le fait que la suite des 1/p (p premier) tend vers 0. Et répété ensuite. Mais quand on défend sa "trouvaille", on ne lit pas sérieusement les remarques des autres.


Autre chose : Médiat te dit que ce qui serait utile, qui serait un vrai théorème, c'est de donner un procédé qui donne des renseignements sur la suite à partir directement du nombre, par exemple un lien entre les termes successifs, ou une façon de calculer le 100-ième terme sans avoir calculé les 99 précédents.
Un algorithme comme le tien est le degré 0 de la détermination d'une suite. Connaissant 1000 termes on ne peut pas en déduire le 1001-ième.
Tiens, par exemple, je choisis un nombre x entre 0 et 1, il a sa suite qui commence par 1,1,2,2,1,1,1,1. Quel est le terme suivant ?

Cordialement.

[Médiat]

j'ai l'impression que cela marcherait pour toute suite d'entier strictement croissante au dénominateur

C'est ce que l'on vous dit depuis le début !

Encore une fois, si vous ne savez pas caractériser les suites qui sont image d'un réel, ou que vous ne définissiez une structure intéressante sur l'ensemble des suites, je ne vois pas l'intérêt.

De plus ce n'est pas neuf, voir par exemple l'article de P. Shiu : http://www.jstor.org/discover/10.230...21104768820691

[Médiat]

L'ensemble de suites me semble parfaitement caractérisé par la méthode de déterminantion du coefficient a_n.

Mais non puisqu'il faut partir des réels pour caractériser une suite qui correspond à un réel, dire qu'une suite correspond à un réel si elle correspond à un réel ne sert pas à grand-chose !

[CM63]

Bonjour,

De plus ce n'est pas neuf, voir par exemple l'article de P. Shiu : http://www.jstor.org/discover/10.230...21104768820691

Effectivement, merci pour la référence, c'est une variante du théorème que j'ai exposé ci-dessus, dans laquelle on prend a_n égal à 1 si la série ne dépasse pas x, 0 si elle depasserait x avec 1.

Bonne journée.

[CM63]

Bonjour,

Mais non puisqu'il faut partir des réels pour caractériser une suite qui correspond à un réel, dire qu'une suite correspond à un réel si elle correspond à un réel ne sert pas à grand-chose !

Je ne veux pas faire une cloture algébrique de , ce n'est pas mon propos.

Bonne journée.

[CM63]

Bonjour

Cela t'a été dit plusieurs fois. La première fois une heure et demie après l'énoncé de ton "théorème", par Seirios (Message #14). Il utilisait le fait que la suite des 1/p (p premier) tend vers 0. Et répété ensuite. Mais quand on défend sa "trouvaille", on ne lit pas sérieusement les remarques des autres.
Cordialement.

Je trouve ce post particulièrement méprisant à mon égard . Il est faux de dire que j'ai ignoré vos remarques, lorsqu'on m'a dit que la série convergerait pour n'importe quelle suite d'entiers strictement croissante, j'ai répondu (et donc je n'ai pas ignoré la remarque) que seuls les nombres premiers assuraient l'unicité: ce en quoi je me trompais, mille excuses.

Au sujet du fait qu'on ne pouvait calculer le terme n qu'à partir du termes n-1, là non plus je n'ai pas ignoré la remarque, j'ai dit "en quoi est-ce un problème?", car en effet les séries définies récursivement, cela existe. Et personne n'a contre argumenté ou répondu à cette réponse.

Bonne journée.

[gg0]

Si mon post est méprisant,

ton comportement, continuant à dire que ta méthode est utile, et que les nombres premiers assurent l'unicité alors même que tu pouvais voir que c'est le cas non pas parce que ce sont des premiers mais par ce que tu imposes dans l'algorithme, est alors très méprisant pour ceux qui t'ont répondu.

On a essayé d'être sympas, mais il te faut accepter l'expression de la vérité : Dès que tu as donné ton algorithme, on t'a dit que ça marchant avec n'importe quelle suite de nombres qui tend vers l'infini. On aurait dû te faire remarquer qu'à aucun endroit tu n'utilisais les propriétés des entiers premiers (la suite des entiers fonctionne tout aussi bien !). L'aurais-tu compris ? Tu n'as pas compris qu'il y avait unicité dans tous les cas, aurais-tu été capable de comprendre une idée bien plus abstraite ?
Répondre à une remarque précise "en quoi est-ce un problème?" est aussi un peu méprisant ("je ne réfléchis pas, je reste sur ma position"). Et ta remarque sur les suites récurrentes montre bien que tu ne traites pas les remarques par la réflexions, tu cherches seulement un argument. Dans ton algorithme, on ne peut pas calculer un terme à partir des précédents. Ta suite n'est pas récurrente. Elle est comme la suite des décimales d'un nombre : la connaissance des n premières décimales ne donne pas la n+1-ième.
Mais là encore, tu n'étais pas prêt à penser vraiment ce qu'est une suite utile. A comprendre la question de Médiat. Tu tiens trop à ta "découverte" pour admettre simplement qu'elle n'apporte rien.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Avant que les choses ne s'aggravent, tout ayant été dit : on ferme !

Médiat, pour la modération