Décomposition en éléments simple

[Argon39]

Bonjour ,vu que je n'ai quasiment rien compris dans ls décomposition en éléments simple ,je voulais savoir si quelqu'un pouvais m'expliquer avec des "mots simples" comment décomposer ces fractions:
a)(2x + 3)/((x + 2)(x² − x + 1)) et b) (x + 5)/((x + 2)(x^3+2x + 1))

Je sais juste que Si avec degré de< degré de, les éléments simples sont
- soit de la forme où est une racine de
- soit de la forme où est un trinôme du second degré qui divise mais qui ne possède pas de racine réelle (donc dont le discriminant est négatif).

Et même si dans les cas a) et b) le dénominateur est de degré 3 et 4 ,tout deux supérieur au degré du numérateur,ça ne m'aide pas vraiment .
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[gg0]

Bonsoir.

Avec des mots simples, non. Ça n'a rien de simple.

Donc après avoir éventuellement divisé, tu as une fraction avec le numérateur de degré inférieur à celui du dénominateur. Puis tu factorises complètement le dénominateur (c'est déjà fait dans ton a), pas dans le b) ). Ensuite tu écris la décomposition théorique : pour chaque facteur de la forme (ax+b)^n, tu as des fractions de la forme e/(ax+b)^k pour k variant de 1 à n; pour chaque facteur de la forme (ax²+bx+c)^n, avec b²-4ac<0, tu as des fractions de la forme (ex+f)/(ax²+bx+c)^k pour k variant de 1 à n.
Puis tu calcules les coefficients des numérateurs avec les méthodes de ton cours.

Cordialement.

[invite7d8bc1d8]

Bonjour;

Dans le cas général on suivra la méthode proposée par gg0 pour décomposer une fraction
rationnelle P_n (x)/Q_m(x). Néanmoins si la fraction rationnelle se
se présente sous l'une des deux formes :
1)... P_n(x)/(x²+ax+b)^m

2)... Pⁿ(x)/(x^k(ax²+bx+1))^u

avec m,n,k et u des entiers positifs il n'y a pas mieux que d'appliquer la méthode d'O.R.

Par exemple les décompositions des deux fractions

(x¹⁰+2x⁵-x+1)/(x²+x+2)³
et
(x³+4x+1)/(x⁴(2x²+x+1)²)


peuvent être effectuées sur une demi page d'une feuille A4 et surtout en un laps
de temps inférieur à 8 mn (au maximum!).

Cordialement.

[invite7d8bc1d8]

Bonjour,
La décomposition de la fraction

A(x)=(x¹⁰+2x⁵-x+1)/(x²+x+2)³

est effectuée sur le tableau d'O.R. suivant

....1......-1......0......0.....0......2.. ....0......0.....0......0..... .1
...23......8.....-11.....1....5.....-3.....-1.....3.....-1.....-1.....1...***....-1
...................-73....-6...31...-12.....-7....8.....-1.....-2.....1....***...-2
.............................. ....73....-19....-21..14.....0.....-3.....1

Ainsi (et ce d'après ce tableau) cette décomposition en éléments simples est

A(x)=-21+14x-3x³+x⁴+(-19x+73)/B(x)+(-6x-73)/(B(x))^2+(8x+23)/(B(x))^3

avec B(x)=x²+x+2

Pour la seconde fraction
K(x)=(x³+4x+1)/(x⁴(2x²+x+1)²)

le tableau d'O.R. aura la forme

......0.......0.......1....... 0......4.......1
......0......10......0......-5......3.......1.....***...-1
....-10.....13......5......-9......2.......1.....***...-2

et donc il vient ( C(x)=2x²+x+1 )


K(x)=1/x⁴ + 2/x³ - 9/x² + 5/x +(13-10x)/C(x) +10/(C(x))²

On notera que tous les calculs sont effectués sur les tableaux d'O.R.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]