Intégration sur un volume d'une fonction dépendant du temps

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour à tous,

Je suis confronté à un problème bien précis en mathématique: je veux intégrer une fonction de l'espace et du temps sur une segment donné (le problème est unidimensionnel en x)

On a déjà l'expression d'une fonction scalaire où .

Le problème est que la métrique considérée a une partie spatiale paramétrisée avec un facteur d'échelle adimensionnel :



Dans ce cas, la fonction scalaire s'écrit donc :


Dans ce cas, je ne parviens pas à obtenir la primitive spatiale en intégrant



Auriez-vous d'aimables pistes pour réaliser ce calcul??

Je vous remercie.
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[geometrodynamics_of_QFT]

Etant donné que ne dépend visiblement que de (bien que je n'en sois pas sûr dû au facteur d'échelle dans la partie spatiale de la métrique ), peut-on dire que

?

Si oui, que vaut ?

Faut-il faire un changement de variable ?

Je vous remercie pour vos éclairages!

[Amanuensis]

L s'applique à une trajectoire, la densité de lagrangien à des champs.

Pour passer du second au premier faut faire intervenir des "fonctions" de Dirac ou équivalent.

[Médiat]

Bonjour,

Cette discussion ne serait-elle pas mieux en Physique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[geometrodynamics_of_QFT]

L s'applique à une trajectoire, la densité de lagrangien à des champs.

Pour passer du second au premier faut faire intervenir des "fonctions" de Dirac ou équivalent.

Merci pour votre réponse.

@Mediat : ma question portait principalement sur le fait que l'intégration d'une fonction f(t) sur le volume dont l'élément de longueur est paramétrisé par un facteur d'échelle a(t) ne me paraissait pas triviale.

Au lieu de donner comme d'habitude, j'ai l'impression que la variation temporelle de l'élément d'intégration change la donne :-/

C'est plutôt mathématique ici comme question. intégration d'une fonction du temps sur un volume d'une métrique générale, j'ai sans doute donné des détails non-nécessaires dans mon premier post.

Il faut notamment oublier le 1D, je pose la question ici dans le cas 3D spatiales.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Je comprend pas

Je suis confronté à un problème bien précis en mathématique: je veux intégrer une fonction de l'espace et du temps sur une segment donné (le problème est unidimensionnel en x)

Vous intégrez sur une courbe un element de volume?
C'est vraiment ça que vous voulez faire?

J'ai plutot l'impression que vous voulez intégrer \mathcal{L}dV sur une sous variété de dimension 3 de l'espace temps (lequel?), laquelle?

[Amanuensis]

Ile me semble que cela peut se ramener à calculer la longueur d'un chemin (ou l'intégrale d'une mesure f(M)dM, f définie sur le chemin) connaissant la 4-forme volume.

[invite47ecce17]

Ca ne peut pas se faire en general.
Si C est un courbe sur une variété X, alors si on note j l'inclusion, l'application naturelle est nulle, sauf si X est deja une courbe bien entendu.
Nénamoins et je subodore que c'est le cas ici, dans le cas Riemannien, ca peut se faire, parce que dj induit une application qui permet de définir une forme volume sur C par ssi (ce qui est propre au courbe, ca ne pourrait pas se faire aussi simplement pour une surface).

Mais je n'ai pas l'impression que ce soit de ça dont il soit question ici.

[Amanuensis]

Plutôt que , on peut écrire

, où est une fonction des quatre coordonnées et Z un truc correspondant à "appartenir au chemin". est la forme volume d'une certaine manière (manque un changement de coordonnée).

Ce que j'écris là n'est pas propre, c'est juste pour "illustrer" pourquoi je vois une relation avec le problème de la longueur d'une courbe connaissant la forme volume.

[azizovsky]

Etant donné que ne dépend visiblement que de (bien que je n'en sois pas sûr dû au facteur d'échelle dans la partie spatiale de la métrique ), peut-on dire que

?

Si oui, que vaut ?

Faut-il faire un changement de variable ?

Je vous remercie pour vos éclairages!

le changement le plus adéquat est ce qui donne

[geometrodynamics_of_QFT]

Merci à tous pour vos réponses!
Je crois que vous avez en effet pointé le problème..(on pouvait oublier le cas 1d, je demandais dans le cas général)

Je vais jouer avec tout ça voir ce que ça donne...ça ressemble à l'artifice de Jacobi...

Encore un tout grand merci!

[geometrodynamics_of_QFT]

Re-bonjour,

je ne m'en suis pas sorti avec le changements de variable, , en voulant intégrer uniquement sur d³x, et pas sur dt en même temps...je bloque..

Par contre, l'idée de Amanuensis me fait rendre compte que d³x ne dépend pas du temps?

En fait le problème me parait tout simple, et j'ai l'impression que je le complique trop, quand je vois les raisonnments de MiPama...

En gros, je voudrais obtenir où est un élément de volume d'un espace-temps dont la métrique est
(Au pire, f(t) dépend aussi de ...cela change-t-il quelque-chose dans l'intégration d^3x?)

Peut-on dire que l'élément de volume ne dépend pas du temps car ?

Et que du coup, cela revient simplement à intégrer ?

[Amanuensis]

est un élément de volume d'un espace-temps

Un élément de volume d'espace-temps s'écrit

L'une des difficultés de ce que vous cherchez vient de là, faut définir un forme volume sur un certain espace 3D, et ce à partir de la forme volume d'espace-temps (qui apparaît dans l'intégration de la densité lagrangienne). Deux difficultés: quel espace 3D? et comment passer de la forme volume 4D à la forme volume 3D sur l'espace 3D en question?