Bonjour à tous. Je cherchais à déterminer les morphismes (de groupes) continus du cercle à valeur dans.
Dans un premier temps, j'ai essayé de comprendre un tel morphisme, qu'on note $f$ dans la suite, en des points particuliers. Il se trouve que les éléments de torsion du cercle (l'union de toutes les racines $n$-ième) est dense dans le cercle. Ainsi, par continuité, il suffit de connaître $f$ en les racines $n$-ièmes pour comprendre $f$ tout entier. En suivant cette piste j'obtiens des conditions nécessaires sur $f(exp(2i\pi/n))$, à savoir que cet élément est aussi une racine $d$-ième pour un certain $d$ qui divise $n$. Partant de ceci, j'ai essayé de trouver d'autres conditions nécessaires en utilisant la propriété de morphisme, mais je ne trouve pas grand chose d'intéressant.
Seconde idée. Notons cette fois-ciu morphisme de groupe continu. Alors on peut aussi penser à des fonction $2\pi$-périodique et donc sous certaines conditions, on pourrait appliquer de la théorie de Fourier (je n'ai pas encore regarder cette piste qui me semble à priori pas très bénéfique). Maintenant l'application $f$ est définie comme étant
.
Ainsi, $f$ est bien une application périodique continue. Si de plus on suppose que le taux d'accroissement en $0$ suivant admet une limite $l\in\mathbb{C}$
alors des techniques classique d'équations différentielles assurent que
,
autrement dit,
Attention à mettre avec de grands guillemets car cette dernière formule n'a aucun sens pour des raisons de détermination du log (non ?)
Si vous avez quelques idées, ou si vous voyez des erreurs merci pour votre participation![]()
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