Morphismes continus

[invite33c0645d]

Bonjour à tous. Je cherchais à déterminer les morphismes (de groupes) continus du cercle à valeur dans .

Dans un premier temps, j'ai essayé de comprendre un tel morphisme, qu'on note $f$ dans la suite, en des points particuliers. Il se trouve que les éléments de torsion du cercle (l'union de toutes les racines $n$-ième) est dense dans le cercle. Ainsi, par continuité, il suffit de connaître $f$ en les racines $n$-ièmes pour comprendre $f$ tout entier. En suivant cette piste j'obtiens des conditions nécessaires sur $f(exp(2i\pi/n))$, à savoir que cet élément est aussi une racine $d$-ième pour un certain $d$ qui divise $n$. Partant de ceci, j'ai essayé de trouver d'autres conditions nécessaires en utilisant la propriété de morphisme, mais je ne trouve pas grand chose d'intéressant.

Seconde idée. Notons cette fois-ci u morphisme de groupe continu. Alors on peut aussi penser à des fonction $2\pi$-périodique et donc sous certaines conditions, on pourrait appliquer de la théorie de Fourier (je n'ai pas encore regarder cette piste qui me semble à priori pas très bénéfique). Maintenant l'application $f$ est définie comme étant
.

Ainsi, $f$ est bien une application périodique continue. Si de plus on suppose que le taux d'accroissement en $0$ suivant admet une limite $l\in\mathbb{C}$

alors des techniques classique d'équations différentielles assurent que
,
autrement dit,
Attention à mettre avec de grands guillemets car cette dernière formule n'a aucun sens pour des raisons de détermination du log (non ?)

Si vous avez quelques idées, ou si vous voyez des erreurs merci pour votre participation
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[invite47ecce17]

Bonjour,
ce sont les morphismes donnés par z->z^n, ca peut se prouver de differentes facon.
La façon la plus simple est probablement d'utiliser le theoreme de relevement pour te ramener a l'etude des morphismes continus de groupes de R dans R.

[invite33c0645d]

Mais pour avoir un relèvement, il ne faut pas en plus de la non annulation une hypothèse de régularité au moins de classe C^1 ? (Du moins je ne connais pas la preuve dans le cas continue si cela existe). je vais regarder cela de plus preès merci pour la réponse .

[invite47ecce17]

Non tu n'as pas besoin de la classe C1, mais ca n'a pas d'importance de toute façon parce que tu peux montrer qu'un morphisme continue de R dans G (ou G est un groupe de Lie, ici S1) est automatiquement C1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33c0645d]

Ah voila ! Merci beaucoup tout marche parfaitement !

Juste pour la culture. Connaissez-vous des utilisations du fait que tous les morphismes de groupes de vers sont de la forme

où est un morphisme continu de vers ?

J'imagine que cela implique beaucoup de choses pour les représentations du groupe , d'autres idées ?

Merci encore pour les inforamtions

[invite47ecce17]

Ben virtuellement ta remarque contient toute la théorie des series de Fourier (enfin pas les theoreme de convergence ponctuelle).

[invitecbade190]

Bonjour,

Je me permets de donner mon avis sur le sujet même si c'est peut être faux, mais qui sait ? peut être que ce sera un peu utile pour vous.
Normalement, on se place dans le cadre des fibrés ( vectoriels si cela est utile ) pour dire que ça a un sens de considérer des morphismes de type : .
Les sont précisément les cocycles qui permettent de passer d'une trivialisation locale à une autre du fibré : . Je vous dis ça, juste pour vous aiguiller un peu et vous localiser le cadre dans lequel il faut se situer. Mais, ici, tu parles de morphismes de groupes. ça me rend complètement perdu, je ne sais pas de quoi il s'agit exactement. MiPaMa parle de groupes de Lie, je n'ai pas assez de connaissances dans ce domaine pour te donner mon avis là dessus.

Cordialement.