Morphismes de groupe de Lie

**taladris** · 10/11/2011, 02h21

Bonjour,

j'aimerais déterminer les endomorphismes d'un groupe de Lie G dans les deux cas suivants:
1) $\text{[math]}$
1) $\text{[math]}$

Dans le cas réel, on peut montrer que toute application $\text{[math]}$ , avec b entier relatif et $\text{[math]}$ , est un endomorphisme de G et est lisse. Et que tout endomorphisme lisse de G est de cette forme.

Dans le cas complexe, $\text{[math]}$ , avec b un nombre complexe et v un entier naturel, est un endomorphisme de G et est lisse. La réciproque (que tout endomorphisme lisse est de cette forme) me semble vraie mais je n'arrive pas à le démontrer.

Quelqu'un aurait-il une idée?

Cordialement

invite57a1e779 · 10/11/2011, 19h00

En utilisant la forme trigonométrique de $\text{[math]}$ , le morphisme se calcule par la formule $\text{[math]}$ .

Pour calculer $\text{[math]}$ , il te faut connaître les morphismes du groupe de Lie $\text{[math]}$ .
Pour calculer $\text{[math]}$ , il te faut connaître les morphismes du groupe de Lie $\text{[math]}$ .

**taladris** · 11/11/2011, 09h25

Merci pour ta réponse.

Pour calculer $\text{[math]}$ , il te faut connaître les morphismes du groupe de Lie $\text{[math]}$ .

Pour cela, il suffit de connaître la forme des morphismes de groupes de Lie de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ (ils sont de la forme $\text{[math]}$ ). Les morphismes de groupes de Lie de $\text{[math]}$ sont conjugués à ceux de $\text{[math]}$ par l'exponentielle.

Pour calculer $\text{[math]}$ , il te faut connaître les morphismes du groupe de Lie $\text{[math]}$ .

En identifiant $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , j'imagine que je peux trouver facilement leur forme en les relevant de $\text{[math]}$ dans

Envoyé par God's Breath

En utilisant la forme trigonométrique de $\text{[math]}$ , le morphisme se calcule par la formule $\text{[math]}$ .

C'est la partie qui m'échappe: pourquoi la restriction de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ) est-elle à valeurs dans $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ? Je du mal à voir où le caractère $\text{[math]}$ intervient.

invite57a1e779 · 11/11/2011, 09h59

Envoyé par taladris

pourquoi la restriction de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ) est-elle à valeurs dans $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ) ?

Effectivement, je suis allé un peu vite.

Pour $\text{[math]}$ , c'est immédiat.
1. L'ensemble $\text{[math]}$ des racines de l'unité est le sous-groupe des éléments d'ordre fini $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .
2. L'ensemble $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

Par contre, pour $\text{[math]}$ , il y a un problème, on peut définir un morphisme $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ .

La réciproque que tu envisages me semble fausse, et on doit obtenir les morphismes lisses de $\text{[math]}$ sous la forme : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**taladris** · 13/11/2011, 10h11

Merci.

La démo pour S^1 est très jolie, je n'y aurait pas pensé (j'imaginais un calcul plus brutal).

Qu'appelles-tu $\text{[math]}$ ?

invite57a1e779 · 13/11/2011, 18h09

Le résultat d'un mauvais copier/coller incomplètement modifié, il s'agit de $\text{[math]}$ .

**taladris** · 14/11/2011, 01h27

Envoyé par God's Breath

La réciproque que tu envisages me semble fausse, et on doit obtenir les morphismes lisses de $\text{[math]}$ sous la forme : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Oui, il y avait une erreur dans mon premier message. Je voulais dire n entier relatif.

Envoyé par God's Breath

Le résultat d'un mauvais copier/coller incomplètement modifié, il s'agit de $\text{[math]}$ .

OK, merci.

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