Droite tangente

[Snowey]

Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre un exercice, et pourtant, intuitivement, je penses avoir la solution.
On considère m un réel et la droite .
Je dois montrer que pour tout réel m la droite est tangente à un cercle dont je dois déterminer le centre et le rayon.
Je me suis posé pas mal de questions, mais je n'arrive pas à me représenter les étapes d'une quelconque preuve...
Je pensais transformer l'expression de l'équation de la droite en posant , ce qui me donne après simplification (et en divisant par ): .
je dois très certainement travailler avec des vecteurs directeurs, mais que faire après avoir remarqué que est un vecteur directeur de ?

En prenant les valeurs -1,0,1 et je remarque que le cercle inscrit dans un carré de coté 2, ce qui semble m'indiquer que C est le cercle de centre (1,2) et de rayon 2. Mais ce n'est pas une preuve.

Peut être devrais-je chercher du côté des enveloppes, et raisonner pour chercher l'enveloppe formé par cette famille de droites ? Parce que ce n'est pas dans mon cours, mais si j'ai bien compris, dans ce cas-ci, la fonction de la courbe enveloppée par la famille de droites est l'unique solution du système .
Bon, du coup je trouve que l'enveloppe est définie par la fonction soit ce qui est presque l'équation d'un cercle, pas vrai !

Bref, j'essaie de me débrouiller sans réel succès. je trouve la recherche d'enveloppe très interessante, mais ne l'ayant pas vu en cours, ce n'est pas la méthode attendue.
J'espère que quelqu'un pourra m'aider !
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[God's Breath]

Si la droite est tangente au cercle de centre , de rayon , alors la distance de à est .

[Snowey]

D'abord, désole pour les fautes d'orthographe et les errers de calcul (j'ai trouve le bon cercle avec la reverche de l'enveloppe).
Je n'y avais meme pas pense ! ...
Mais je ne parviens toujours pas au résultat pourtant.

[God's Breath]

En prenant les valeurs -1,0,1 et je remarque que le cercle inscrit dans un carré de coté 2, ce qui semble m'indiquer que C est le cercle de centre (1,2) et de rayon 2.

La distance du point de coordonnées (1,2) à la droite est :



Il semble donc que le centre soit exact, mais que le rayon soit 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Merci beaucoup !
Mais je n'arrive toujours pas a conclure avec cette information :/
Par contre g réussi en utilisant l'enveloppe ^^

[Snowey]

Non, excusez moi mais votre réponse ne s'affichait pas !
Maintenant que je la voie, tout est clair ! J'avais bien utilisé cette caractérisation de la distance mais je ne savais pas si je devais vérifier que les coordonnées (1,2) étaient correctes ou si ma résolution devait être générale. Car alors comment aurais-je pu résoudre cette équation, ne connaissant ni x (1), ni y (2), ni R (1, je m'étais trompé avec le diamètre !) ?

[Snowey]

Décidément ! Ne tenez pas compte de mon dernier post, je suis décidément imbécile.
Une simple identification est suffisante.

Merci encore (je sais que ce n'est pas la dernière fois que je le dis) God's Breath. Bonne soirée !

[God's Breath]

On peut déterminer l'enveloppe des droites pour vérifier que c'est bien un cercle.

On peut considérer quelques droites particulières, obtenir, par analyse, le centre d'un éventuel cercle qui puisse admettre les droites pour tangentes, et on vérifie, par calcul de la distance, que tout va bien.

On peut aussi partir du fait que le cercle est l'ensemble des projections orthogonales du centre sur les tangentes : on calcule la projection orthogonale sur la droite d'un point quelconque (a,b), pui on détermine si l'ensemble des points obtenus est un cercle de centre (a,b).