Morphismes continus de (IR,+) dans GLn(IR)

**Seirios** · 05/12/2011, 10h47

Bonjour à tous,

Je cherche à déterminer tous les morphismes continus de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Déjà, les $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ conviennent. J'aimerais assez montrer que ce sont les seuls. Pour cela, il suffirait de montrer qu'un tel morphisme $\text{[math]}$ est nécessairement dérivable en 0, car alors on peut en déduire qu'il est dérivable sur $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est de la forme précédente.

Le problème est de montrer la dérivabilité en 0. A ce stade, on a pas utilisé la continuité, donc j'ai pensé à intégrer la relation $\text{[math]}$ pour égaler $\text{[math]}$ à une expression avec des intégrales, qui sont bien dérivables, mais je n'ai pas abouti à grand chose.

Quelqu'un aurait-il une petite indication à me donner ?

Merci d'avance,
Seirios

**Seirios** · 05/12/2011, 10h54

Cela m'amène à une autre question : sait-on si $\text{[math]}$ est une matrice inversible pour tout t ?

invite57a1e779 · 05/12/2011, 11h16

On note : $\text{[math]}$ . Pour tout nombre réel $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Il suffit donc qu'il existe un nombre réel $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit inversible pour en déduire la dérivabilité de $\text{[math]}$ via l'expression : $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 05/12/2011, 17h42

J'avais fait un raisonnement semblable, mais il nécessitait que $\text{[math]}$ soit toujours inversible, ce qui est généralement faux (il suffit de prendre $\text{[math]}$ avec A unitriangulaire), donc ce raisonnement est bien plus intéressant.

Par contre, je ne vois pas vraiment le lien que l'on peut faire entre l'inversibilité de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ...

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invite39876 · 05/12/2011, 18h13

Bonjour!
L'existence d'un tel u est toujours garantie, en effet pour t assez petit phi(t) est proche de l'identité, et en integrant, grand phi sera proche aussi (si on prend un petit intervalle). Ca se formalise aisément.

**Seirios** · 05/12/2011, 21h44

Effectivement, merci à vous deux.

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