groupes isomorphes Z/nZ

[invite8c7835ea]

Bonjour,

On me demande dans un exercice si les groupes (Z/4Z,+) et (Z/2Z x Z/2Z,+) sont des groupes isomorphes.
J'ai pensé au théorème chinois mais en faite ça sert à rien puisque pgcd(2,2)=2 et pas 1 donc ils ne sont pas premier entre eux.
Du coup je sais pas trop quoi faire et je pense que c'est parce que je comprend pas bien la définition d'un isomorphisme.
Un isomorphisme c'est pas une application normalement parce que dans mon exo il ne parle d'aucune application?

merci pour votre future aide.
-----

[invited5b2473a]

L'idée est de supposer qu'ils ne sont pas isomorphes et de trouver une absurdité.
"Application" est ici à prendre au sens de "fonction".

[Médiat]

Pour montrer que deux structures ne sont pas isomorphes, le plus simple est généralement de trouver une formule vraie dans l'une et pas dans l'autre.

Par exemple, ici, les éléments de Z/2Z vérifie une formule très simple qui passe au produit, il suffira de vérifier que Z/4Z ne vérifie pas cette formule.

[Seirios]

Cela dit, le théorème chinois donne plus qu'une implication, il donne une équivalence.

[A voir en vidéo sur Futura]