Sous-groupes normaux isomorphes

[Amanuensis]

Bonjour,

Question : Si H1 et H2 sont deux sous-groupes distincts normaux de G isomorphes, est-il possible qu'au moins un d'entre eux soit caractéristique ?

G/H1 et G/H2 sont isomorphes ; on pourrait néanmoins imaginer que G se construise de deux manières différentes comme produit de H et de G/H, mais je ne trouve aucun exemple. Ni de démo prouvant l'existence d'un automorphisme de G permutant H1 et H2.

Merci,
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[jobherzt]

A vue de nez, je suis d'accord, il se peut que N1 et N2 soient isomorphes en tant que groupes, sans qu'il n'existe pour autant un automorphisme de G qui envoit l'un sur l'autre. En particulier, je ne vois pas d'obstructions à ce que l'un et/ou l'autre soit caracteristique. Ceci dit je n'ai pas d'exemple en tete.

[invite986312212]

salut,

H1 isomorphe à H2 n'entraîne pas G/H1 isomorphe à G/H2 : par exemple dans (Z,+), 2Z est isomorphe à Z mais Z/Z={0} et Z/2Z={0,1}

[Amanuensis]

Effectivement.

Et dans les groupes finis ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[jobherzt]

Salut,

Je me suis amusé a chercher un exemple. je pense que le plus simple est de prendre deux groupes différents qui ont un même sous groupe distingué, puis de prendre le produit direct.

par exemple, et ont tous deux un sous groupe distingué d'ordre 4 isomorphe au Viergruppe . Posons donc , il contient deux sous groupe distingués isomorphes, à savoir et . Le quotient dans le premier cas donne , et dans le second cas c'est . Ces deux groupes ne sont pas isomorphes, par exemple le premier contient des éléments d'ordre 12 alors que le second non.

[jobherzt]

Du meme coup ca te donne un exemple pour at question originale, puisque les deux sous groupes et sont tous les deux caractéristiques.

[Amanuensis]

Merci !

Cela répond parfaitement à ma question !