Bonjour à tous,
Voila j'ai une application f dans Gln(R) qui à : A -> A^(-1)
Je dois montrer que f est continue.
Je sais que Gln(R) est un ouvert de Mn(R) et que l'application qui a une matrice associe son déterminant est continue.
J'ai d'abord pensé que je pouvais prouver que l'image reciproque par f de tout ouvert de Gln(R) etait elle même ouverte mais je ne vois pas comment proceder.
Avez vous une petite remarque qui pourrait me mettre sur la voie ?
Merci beaucoup.
A bientot.
Bonsoir.
Tu peux utiliser la formule qui donne la matrice inverse à partir de la comatrice.
Comme les coefficients de la comatrice s'obtiennent par des sous-déterminants, on obtient la continuité.
Je me rappelle avoir vu une version beaucoup plus "cambouis" (ie : avec des epsilons) en utilisant la formule de Sherman–Morrison. En voyant la formule c'est facile de partir, le plus dur étant de pas se perdre en route !
( http://en.wikipedia.org/wiki/Sherman...rrison_formula )
Si je comprend bien, cette application f est la somme des n^2 cofacteurs qui sont des determinants donc somme d'applications continues. Celle ci est donc continue.
Merci pour votre remarque.
C'est aussi simple que ca; le seul point a garder en tete et que dans la formule il y a aussi l'inverse du determinant de la matrice A mais bon sur GLN c est continue aussi
