Bijection de R^n sur R

[invite5c925b5c]

Bonjour tous.

Comme l'indique le titre de mon message, j'essaie de montrer que, soit n un entier naturel non nul, il existe une bijection de R sur R^n. Il suffit en fait de montrer que R et RxR sont en bijection et de faire une récurrence (du moins, il me semble.)

Cependant, j'arrive à montrer qu'il existe une bijection de R sur [-1,1] (grâce au théorème de Cantor-Bernstein, cela se montre assez facilement), puis de Nx[-1;1] sur R, ce qui permet de conclure qu'il existe une bijection de QxR sur R, mais je ne voit pas comment passer de QxR à RxR.

En effet, il n'existe aucune bijection de Q sur R (puisque Q est en bijection avec N), ni de Q^l sur R (pour l entier naturel.) Il y a peut-être une solution utilisant les permutations et les séries semi-convergentes, mais je ne vois pas comment relier directement cela à mon problème (en effet, je nepense pas qu'il y ait de bijection de l'ensemble des suites d'entiers dans Q.)

Quelqu'un auraot-il une idée ?
Merci d'avance pour vos réponses.
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[invité576543]

Bonjour,

Il y a une bijection entre l'intervalle réel [0,1] et les parties de N (2^N). Il y a une bijection entre [0,1]² et (2^N)². Et il y a une bijection entre (2^N)² et 2^N.

Cordialement,

[Médiat]

Je ne sais pas quels outils tu peux utiliser pour démontrer cela, a priori il doit être suffisant de dire que or (ça c'est facile) d'où cqfd.

Si tu veux "construire" une bijection "à la main", à partir du développement propre en base n d'un réel x, tu peux contruire 2 réels en prenant un chiffre sur deux (pas joli joli, mais on comprend que cela marche).

[invite5c925b5c]

Merci à tous les deux pour vos réponses. Effectivement, je n'avais pas pensé à utiliser les parties de N.

[A voir en vidéo sur Futura]