Fonction intégrable sur R

inviteb4466a8c · 16/12/2014, 16h34

Bonjour,
peut on dire que si f est continue et que
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
alors f est intégrable sur R?
Si oui, quels sont les arguments?
Si non, avez vous des contres exemples?

Merci de vos réponses,

Coban

invite9dc7b526 · 16/12/2014, 16h44

Une fonction continue est nécessairement mesurable. Tu te demandes si l'intégrale est finie? La condition sur les limites n'est ni suffisante ni nécessaire.

inviteb4466a8c · 16/12/2014, 16h51

Oui, je me demandais si l’intégrale est finie.

Envoyé par minushabens

La condition sur les limites n'est ni suffisante.

pourquoi?
avez vous un contre exemple?

**Seirios** · 16/12/2014, 17h02

Bonjour,

Tu peux construire une fonction $\text{[math]}$ avec des pics d'aire $\text{[math]}$ en chaque entier $\text{[math]}$ , et nulle ailleurs. Alors $\text{[math]}$ . Si tu prends des pics de hauteur constante, ta fonction n'aura pas de limite en $\text{[math]}$ . Ensuite, pour trouver une fonction avec limites nulles en les infinis mais avec une intégrale infinie, tu bricoler quelque chose avec la fonction $\text{[math]}$ .

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**gg0** · 16/12/2014, 17h02

Bonjour.

$\text{[math]}$

Cordialement.

**gg0** · 16/12/2014, 17h05

A savoir :

La condition "limite à l'infini nulle" n'est pas non plus nécessaire. Des fonctions continues qui n'ont pas de limite à l'infini, peuvent avoir une intégrale finir sur R.

[édit : C'est ce qu'a montré Seirios. Qui répond à une autre question que la tienne. Salut Seirios !]

inviteb4466a8c · 16/12/2014, 17h12

Envoyé par gg0

Bonjour.

$\text{[math]}$

Cordialement.

non, ta fonction est impaire et du coup son intégrale sur R est nulle.
Je ne veux pas savoir si la conditions des limites nulles aux infinis et nécessaire mais si elle est suffisante pour que l’intégrale sur R soit finie.

**gg0** · 16/12/2014, 17h33

Tu devrais revoir la définition d'une intégrale sur R (quelle que soit ta forme d'intégrale). Si ta définition dit qu'une fonction impaire a une intégrale nulle, donne-la, je m'inclinerai. mais il aurait fallu préciser au départ. En général, ce n'est pas le cas.

Si ma fonction ne te va pas, mets-la en valeur absolue.

**Seirios** · 16/12/2014, 17h35

Envoyé par gg0

La condition "limite à l'infini nulle" n'est pas non plus nécessaire. Des fonctions continues qui n'ont pas de limite à l'infini, peuvent avoir une intégrale finir sur R.

[édit : C'est ce qu'a montré Seirios. Qui répond à une autre question que la tienne. Salut Seirios !]

C'est vrai, mais dans la deuxième partie de ma réponse, je réponds bien à la question de l'auteur

En fait, je rebondissais surtout sur la réponse de minushabens.

Pour être plus précis, on peut définir une fonction paire $\text{[math]}$ en l'égalant à $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ et à $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ . Ses limites en les infinis sont bien nulles, mais son intégrale est infinie.

**Seirios** · 16/12/2014, 17h38

Envoyé par Coban

non, ta fonction est impaire et du coup son intégrale sur R est nulle.
Je ne veux pas savoir si la conditions des limites nulles aux infinis et nécessaire mais si elle est suffisante pour que l’intégrale sur R soit finie.

Tu remarqueras que $\text{[math]}$ mais que $\text{[math]}$ . C'est un indice fort pour montrer que l'intégrale sur $\text{[math]}$ n'est pas définie.

inviteb4466a8c · 16/12/2014, 17h57

Envoyé par Seirios

$\text{[math]}$

ha bon?
l’intégrale de -n à n+1 n'est pas : $\text{[math]}$ ? et du coup ça tend vers 0 non?

**gg0** · 16/12/2014, 18h18

Et ta définition de l'intégrale sur R ?

NB : Seirios peut facilement rectifier sa proposition en prenant de -n à n².

inviteb4466a8c · 16/12/2014, 18h28

pour moi, l’intégrale sur R de f c'est $\text{[math]}$ non?

**gg0** · 16/12/2014, 18h40

Ok.

Ce n'est pas la définition habituelle (limites finies en + et - oo) pour une intégrale généralisée. Dans ce cas, mon exemple avec une valeur absolue sur le x du numérateur te convient.

Cordialement.

NB : méfie-toi de cette définition très restrictive.

inviteb4466a8c · 16/12/2014, 18h48

Envoyé par gg0

Ok.
Dans ce cas, mon exemple avec une valeur absolue sur le x du numérateur te convient.

oui,
c'est quoi la définition habituelle?

**Seirios** · 16/12/2014, 20h39

Envoyé par gg0

NB : Seirios peut facilement rectifier sa proposition en prenant de -n à n².

Merci d'avoir rectifié le tir

**gg0** · 16/12/2014, 23h00

Envoyé par Coban

oui,
c'est quoi la définition habituelle?

Convergence en +oo, et indépendamment en -oo..

Cordialement.

invited979e304 · 22/12/2014, 19h09

Soit la fonction $\text{[math]}$ , définie sur R tout entier.
En $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , cette fonction tends vers 0, vaut 1 en 0 et est continue.

Son intégrale sur R vaut : $\text{[math]}$ ; soit par symétrie : $\text{[math]}$

Or la primitive de $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ , définie sur R+ mais tends vers $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ .

On a donc une fonction continue qui tends vers 0 en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , mais dont l'intégrale n'est pas définie.

Le problème de l'énoncé est que la définition de la continuité est trop large; cela pourrait marcher dans le cas d'une fonction k-lipschitzienne, mais je n'en suis pas sûr.

Fonction intégrable sur R