Arithmétique système d'équation

[invite69d45bb4]

Bonjour à tous je n'arrive pas à résoudre ces système d'équation avec le théorème chinois des restes

{x=3(12) et x=3 (21)

{9x=2 (15) et x=6(17)

et l'équation 3x=5 (7)

merci d'avance pour votre aide (j'ai du mal avec les congruences)
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[invited979e304]

Personellement, je ramène tous les modulo au ppcm des modulos en multipliant chaque ligne du système par un facteur donné. Ensuite, il faut trouver une combinaison linéaire des nouvelles lignes qui donne 1*X = .. [] .

Je suppose que chaque ligne est un système (j'ai cru au départ qu'il n'y en avait qu'un).


Pour { x=3 [12] ; x=3 [21] } :
on ramène le modulo à 84, ppcm de 12 et 21, soit :
{ L1 : 7*X = 21 [84] ; L2 : 4*X = 12 [84] }
On a alors 3*L1 - 5*L2 : 3*7*X - 5*4*X = 3*21 -5*12 [84] <=> X = 3 [84]

[invited979e304]

Pour l'équation, une solution particulière affectée du même modulo suffit. Ici 4 marche : 3*4 = 5+ 7.
Donc : X= 4 [7]

[invite69d45bb4]

je ne comprends pas pour l'equation et je ne vois pas comment utiliser le theoreme chinois des restes pour resoudre ces systèmes d'équations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited979e304]

Pour l'équation, si 4 est solution particulière, alors il existe un couple( p,q) d'entiers relatifs tel que :
3*(4+7*q) = 5+ 7*q <=> 12 = 5 + 7*(p-3*q) avec 1=p-3*q
Normalement il y en a une infinité : (10,3),(19,6), ... ,(1000,333) ...

Quant au deuxième système, il ne peut fonctionner
On a d'une part 9*X = 2 [ 15] ce qui se ramène à l'équation diophantienne 9*X + 15*Y = 2 avec X et Y deux entiers relatifs. Or 2 n'est pas multiple du pgcd de 15 et 9 qui est 3, donc cette équation ne peut être résolue.