Bonjour à tous,
Dans H=L2(Rd), on considère une base hilbertienne, un élément
et
On a :
On dit alors que par une inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :
Mais je ne comprends pas cette application de l'inégalité de Cauchy-Shwarz, comment ils ont pu intervertir intégrale et somme ?
Bien à vous.
Erreur de lecture.
Vous voulez dire qu'il y a erreur dans le propos qui est avancé ?
Non,
erreur de ma part, j'ai lu trop vite. je n'avais pas vu qu'il y a plusieurs transformations faites, dont Cauchy-Schwarz, mais aussi (est-ce justifié ?) une permutation somme/intégrale.
Cordialement.
Ben justement c'est ce que je me demande. En fait, si on montre que
est fini presque partout, on peut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec le produit scalaire des suites de carré sommable et écrire :
(on sait que le premier terme du produit est fini parce qu'il est plut petit que la norme de f)
A vrai dire, le K chapeau est un opérateur intégrale, c'est à dire que son action sur une fonction f de H est :
avec K un élément de L2(R2d,C)
remarque que si la somme dont tu dis qu'il faudrait qu'elle montrer qu'elle est finie, est en fait infinie, alors l'inégalité est automatiquement vérifiée.
Oui, j'avoue que c'est vrai. Mais il reste le problème d'intervertir l'intégrale avec la somme (erreur dans mon dernier post, faut lire plutôt :
)
Voir ce fil sur un autre forum.
Le problème n'est pas l'interversion; en fait il y a inégalité: la valeur absolue de la somme (à plus forte raison son carré) est majorée par la somme des valeurs absolues (ici au carré). Ensuite et seulement on peut intervertir le sigma et l'intégrale. Puis Cauchy-Schwarz fournit une deuxième majoration.
