Système d'équations

invite029139fa · 15/07/2010, 18h49

Bonjour à tous !

Je fais appel à vous pour exploiter à nouveau vos services (

) car j'ai un petit souci de résolution d'un système d'équation qui m'est venu en regardant l'heure hier soir : $\text{[math]}$ .

Voila, je cherche l'ensemble des couples $\text{[math]}$ vérifiant :

$\text{[math]}$

Tout d'abord, si $\text{[math]}$ est solution, alors $\text{[math]}$ le sont aussi, donc si on a un couple $\text{[math]}$ on écrira pas les autres par souci de flemmardise

J'ai bien sûr quelques couples solutions comme : $\text{[math]}$ et un dernier un peu plus intéressant grâce à mon réveil : $\text{[math]}$ !

Donc pour la résolution de ce système, je ne sais pas trop comment m'y prendre...

En regardant un peu, j'ai trouvé que parmi les solutions que j'ai déja citées se trouvent toutes les solutions de la forme $\text{[math]}$ .

En effet :

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De même, $\text{[math]}$ est la seule solution de la forme $\text{[math]}$ (je ne vous mets pas la preuve cette fois, puis de toute facon, vous êtes surement capable de le retrouver).

Bon, tout cela est bien beau, je pourrais traiter beaucoup de cas particulier, mais cela ne me servirait à rien si ce n'est à trouver des solutions particulières, puis de toutes façons, il restera quand même le cas à étudier où $\text{[math]}$ .

J'ai commencé à essayer de voir au niveau des signes respectifs des inconnues. (On exclu le cas trivial (0,0,0,0) ). Je n'ai pas eu le courage de mettre les preuves de ce que j'ai pu trouver, mais je le ferai si quelqu'un le demande.

₍₁₎ Si les 4 inconnues sont de même signe, elles sont forcément positives.

₍₂₎ Si il y en a 2 de chaque signe, alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont de signe contraire (idem pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ évidemment)

₍₃₎ Enfin, si il y a une inconnue dont le signe est différent de celui des autres, alors elle est forcément positive, et les trois autres sont forcément négatives.

Voila, à part ca, je ne sais pas trop comment procéder, ainsi, je fais appel à vous en espérant que de part votre gentillesse et votre matière grise vous pourrez m'éclairer.

Cordialement.
Elie520.

invite029139fa · 16/07/2010, 00h30

Personne pour m'aider ?

Moi j'avance doucement

Bon, sinon, j'ai trouvé que si nous voulions trouver d'autres solutions, il faut impérativement $\text{[math]}$ .

Comme si $\text{[math]}$ est solution $\text{[math]}$ aussi, alors j'étudie le cas $\text{[math]}$ , et cela ne nous privera pas de solution en permutant a, b, c et d comme dit précédemment dans le premier message quand nous en aurons.

Ainsi, on aboutit à cela :
$\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont de même signe et tous les deux non nuls.

I/ Dans un premier temps, supposons-les strictement positifs :

Donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
D'après ₍₁₎, ₍₂₎ et ₍₃₎ du message #1 on en déduit donc que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

I/a) Posons par exemple $\text{[math]}$ (ce serait pareil pour d=0). Cela entraîne (je n'écris pas la démonstration courte) : $\text{[math]}$ .
Donc étant dans le cas ou $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a pas d'autre solution dans cette partie là.

I/b) Soit maintenant : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Donc comme nous travaillons dans les entiers, cela revient à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . D'où $\text{[math]}$ .
Or, d'après le système ci-dessus, on a $\text{[math]}$ .
D'où $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ ou (et non pas "et" d'après le premier message sur les couples de la forme (a,a,b,b) ) $\text{[math]}$ . On travaillera avec $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ devient : $\text{[math]}$ Donc on a forcément $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ou le contraire. D'où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Et donc $\text{[math]}$ . Je retrouve le fameux "couple" $\text{[math]}$ et tous ceux qui lui sont issus.

Mine de rien, j'avance tout seul

Demain, je verrai pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ strictement négatifs.
Si quelqu'un pouvait, si ce n'est m'aider, me dire si jamais je me trompe dans mon raisonnement ou quoi que ce soit, il est la bienvenue !

invite029139fa · 16/07/2010, 10h45

II/ Dans un second temps, supposons $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

II/1) Supposons $\text{[math]}$ . Cela entraine, je n'écris pas la démonstration (courte), $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ est solution de $\text{[math]}$ (même pour $\text{[math]}$ car ainsi, on se retrouve dans le cas $\text{[math]}$ et donc on retrouve le couple $\text{[math]}$ .)

Donc si on cherche une solution de la forme $\text{[math]}$ , alors elle est de la forme $\text{[math]}$

Je sais déjà qu'il y a une infinité de solutions.

Il ne me reste plus qu'un cas à traiter :

II/2) Avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Donc d'après ₍₁₎, ₍₂₎ et ₍₃₎, c et d sont de signes opposés. On prendra $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .
Petite remarque : $\text{[math]}$ étant positif strictement, on a nécessairement $\text{[math]}$ positif strictement et donc $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , on peut se ramener au cas du dessus en remplaçant $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ par exemple, donc pas de nouvelle solution. Donc prenons $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Donc hormis le cas $\text{[math]}$ , nous avons toutes les solutions.
Ayant la condition $\text{[math]}$ , on peut réduire les conditions à $\text{[math]}$ .

Mais là, c'est le vide... même si j'ai l'intime conviction qu'il n'y a pas de solution dans cette partie, je ne l'ai pas encore démontré.... Quelqu'un volerait-il à mon secours ? Merci !

invite029139fa · 17/07/2010, 22h42

Eurêka !! Je crois avoir trouvé

Nous en étions donc à la dernière partie :

II/2): $\text{[math]}$ .

II/2)a. : Posons $\text{[math]}$ (on aurait pu choisir b).
Le système initial devient donc : $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ . Le système devient alors : $\text{[math]}$ .
Donc on a des nouvelles solutions, celles de la forme $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Mais j'ai un problème, ca marche aussi pour tous les $\text{[math]}$ ... En fait, je ne pense pas que ce soit un problème, parce que avec $\text{[math]}$ , on retrouve $\text{[math]}$ et pour $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ donc on a qu'à transformer $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ puis on retombe sur nos pattes ( $\text{[math]}$ ici). Est-ce correct ?

II/2)b. : Donc maintenant $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ Or, d'après les condtions sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas du même signe.
Conclusion de cette partie : Aucune solution avec $\text{[math]}$ .

Conclusion : Toutes les solutions de $\text{[math]}$ sont donc les couples (a,b,c,d) d'une des formes suivantes :

# $\text{[math]}$
# $\text{[math]}$
# $\text{[math]}$
# $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$
# $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$
# Tous les couples générés en transformant une solution $\text{[math]}$ en : $\text{[math]}$

Je suis très heureux de mon monologue...

mais si quelqu'un pouvait regarder ce fil avec un esprit critique et me dire si j'ai raté quelque chose, je lui en serais très reconnaissant !!

Merci d'avance.

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