Cas indéterminé de la règle de D’Alembert

[inviteaf7e4316]

Bonjour,

Voila je bloque complètement sur un exo et j'aurais besoin d'aide SVP!


Soit ∑U_n une série vérifiant les hypothèses de la règle de D’Alembert et telle qu'il existe deux réels λ et μ tels que:

∀n ∈ ℕ,

1) Montrer qu'il existe un réel K que vous calculerez tel que:



2) On considère la suite (b_n)_n tel que ∀n ∈ ℕ*,

a) Montrer qu'il existe un réel A que vous calculerez tel que:



b) Montrer que la suite (b_n)_n converge. On note L sa limite

c) Montrer que ~ lorsque n → +∞

d) En déduire une CNS sur pour que la série ∑U_n soit convergente.

3) On considère la série ∑U_n où ;
Déduire de 2)d) une CNS, portant sur a et b, pour que la série ∑U_n converge.



Bon j'ai fait les questions 2)b) et 2)c) mais pour les autres pas aussi faciles...
Merci d'avance pour toute aide!
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[invited9b9018b]

Bonsoir,

Pour la d), ça nous rappelle rien les séries de terme général de la forme ? (ou si vous voulez, )
Sans oublier que deux séries à termes positifs à partir d'un certain rang et équivalents sont de même nature.

A+

[inviteaf7e4316]

mince! J'avais pas fait attention! Donc la d) est une question facile... et faut que λ < 1

Pour la 1) on fait comment ?

[invited9b9018b]

est une condition nécessaire mais pas suffisante. J'imagine qu'il s'agit d'une faute de frappe ?

POur la 1 j'imagine que c'est simplement une composition de développement limités en utilisant le DL de pour x -> 0.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf7e4316]

Non pas de faute de frappe, en fait la série à termes positifs converge si, et seulement si .


Pour la 1) j'ai déjà essaye d'utiliser le DL de ln(1+x) mais je ne savais plus comment enchainer...





Or au voisinage de 0, ln(1+x) = x + o(x) donc:



Voila qu'à ce stade je ne sais plus quoi faire!

[invited9b9018b]

sauf que cest pas pareil que ...

Pour le DL : Vous voyez qu'il faut aller jusqu'à l'ordre 2, parce que sinon les termes en n'ont pas d'intérêt ()

A+

[inviteaf7e4316]

Ahh d'accord je vois!!

Donc:




Alors



Et pour 2)d) on écrit , donc il faut et il suffit que d’où

[inviteaf7e4316]

Pour le reste je me suis débrouillé, pas aussi dur que ça...
Le 2)a) même démarche que le 1) et le 3) une déduction de 2)d) (j'ai obtenu comme CNS a < b+1)

Merci beaucoup pour votre aide!!

[invited9b9018b]

oui mais j'insiste pour il y aune erreur, vous avez perdu un signe moins en route.

[inviteaf7e4316]

En effet, vous aviez raison, il manquait un signe moins!



Puisque les 2 séries sont à termes positifs, ∑U_n converge
si, et seulement est convergente
si, et seulement converge

si, et seulement converge

si, et seulement (Séries de Riemann)
si, et seulement

Donc la CNS est que soit strictement inférieur à -1