Endomorphisme et déterminant

[invite508de0cc]

Bonjour, je n'arrive pas à comprendre un petit paragraphe d'un cours d'algèbre linéaire sur la réduction d'endomorphismes :
"Soit une valeur propre de ; il existe donc un vecteur , tel que , c'est-à-dire . Comme cela signifie que l'endomorphisme n'est pas injectif, ce qui, en dimension finie, équivaut à : det.
Je ne comprends pas ce que signifie la notation ; le désigne t-il l'application nulle ou un nombre ? Mais surtout pourquoi signifie que l'endomorphisme n'est pas injectif ? Et d'où vient la caractérisation avec le déterminant ?
Cordialement.
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[sylvainc2]

Le 0 c'est le vecteur colonne 0 (ou nul, si tu préfères), ce n'est pas le nombre 0 (sauf quand on parle du déterminant) qui est une scalaire, ni encore moins un endomorphisme.

Soit u,v des vecteurs non-nuls tels que g(u)=v. Si g est injectif c'est que l'antécédent de v est unique, en l'ocurrence u, donc qu'il existe g^-1 tel que g^-1(v)=u.

Si dim(ker(g))>0, il existe une infinité de vecteurs w non-nuls tels que g(w)=0. Donc on peut toujours écrire x=u+w tel que g(x)=g(u+w)=g(u)+g(w)=v+0=v, et il existe une infinité de tels x puisqu'il y a une infinité de vecteurs w de ker(g). Ceci veut dire que pour un v donné, il y a une infinité d'antécédents u+w, donc il n'est pas unique et g n'est pas injectif.

Puis, pour le déterminant, il y a plusieurs façons de l'expliquer, mais disons que si on regarde les valeurs propres, si g n'est pas injectif on vient de voir qu'il existe des vecteurs w non-nuls de ker(g) tels que g(w)=0, donc 0 est une valeur propre de g. Or, le produit des valeurs propres = le déterminant (évidemment c'est une propriété qu'il faut déjà connaitre), donc le déterminant est 0.

[invite508de0cc]

D'accord j'ai compris ! Merci beaucoup !