Endomorphisme

[invite616e6f6a]

Bonsoir,

j'ai un souci concernant une question d'algèbre :

On se donne un plan P et une droite D dans R³. En construisant une base bien choisie de R³, montrer qu'il existe au moins un endomorphisme f de R³ tel que Kerf = D et Im F = P.

Ce que j'ai fais : je suppose qu'il existe f vérifiant Kerf = D, et je montre que ça verifie aussi Imf = P.

j'ai d'abord posé un vecteur e₁ qui engendre D, donc Vect{e₁} = D.
Donc on a f(e₁) = 0.
Apres, j'ai essayé d'utiliser le theoreme de la base incomplete ; soit u1=(ui) une famille libre, avec 1<i<p (0<p<n).
Donc il existe une famille libre u2=(ui), p+1<i<n, tq u3=(ui), 1<i<n soit une base de R³.
On a donc (u1,u2,u3) une base de R3.

Et là, je bloque un peu, comment montrer alors qu'il existe des vecteurs u et v tq f(u2) = u, f(u3) = v, ainsi, Imf = P.

Ou alors, ce que je fais n'est pas une bonne méthode.

Pouvez-vous me donner un indice?
Merci d'avance.
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[invitec317278e]

Pour la base incomplète, le vecteur à prendre est (vecteur à choisir dans D, comme tu l'as dit!), c'est lui que l'on complète, en

Voici ce que l'on peut dire :
si une telle application existe, alors on a nécessairement :
-
-
- avec et des vecteurs de P.

Alors, comme f est linéaire, à tout x de l'espace, on doit avoir :
avec les coordonnées de x dans la base .

Et bien, maintenant, il ne te reste qu'à vérifier que f ainsi définie convient...si je ne me suis pas trompé !

[invite616e6f6a]

Alors justement, c'est là que je ne comprends pas bien, pourquoi a-ton nécessairement l'existence de f2 et f3?

[invitea0db811c]

Bonjour,

L'existence de f2 et f3 vient directement du fait que P est un plan de R3. En effet P étant un plan de R3 il existe deux vecteurs de P qui engendre P. Tu prend alors ces vecteurs comme f2 et f3.

[A voir en vidéo sur Futura]