Matrice et polynômes caractéritiques

[invitebea1b8f3]

Bonjour à tous, je suis entrain de bosser un exo de maths sur la diagonalisabilité des matrices, mais un détail me pose problème. Je m'explique, voici l'intitulé :

Soit A une matrice de taille n à coefficients dans Z telle que : 4A³ + 2A² + A =0

montrer que les valeurs propres de A sont en module inférieures à 1/2



On voit bien qu'il faut dire que les valeurs propres sont solutions de l'équation 4A³ + 2A² + A =0
Mais POURQUOI ?
Je ne comprend pas le lien entre cette équation et le polynôme caractéristique de A..

Merci de m'éclairer, Et merci de votre aide a l'avance !
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[invite332de63a]

Bonjour,

aucunement besoin de considérer le polynôme caractéristique.

Ici vérifie . Soit une valeur propre de et un vecteur propre (donc non nul) associé à pour .

On a alors ainsi comme est non nul, t'en conclue que c'est .

Il te reste à montrer la fin de la question.

En espérant ne pas avoir fait de boulette,

RoBeRTo-BeNDeR

[invitebea1b8f3]

Merci beaucoup pour cette réponse rapide ! Je ne voyais pas du tout les choses de cette manière, votre explication est très claire et très judicieuse !
Je vais pouvoir continuer l'esprit tranquille