Polynôme caractéristique

**Elodie_Mat** · 04/01/2015, 13h46

Bonjour,

Pour calculer le polynôme caractéristique d'une matrice 3*3, par exemple :
$\text{[math]}$

on fait det(A-XId) et on trouve $\text{[math]}$ .
Sur wikipedia, il est écrit que det(A-XId) = $\text{[math]}$ det(XId-A) et cela permet de rendre le polynôme caractéristique unitaire d'où $\text{[math]}$ qui est bien le polynôme caractéristique de cette matrice.
Cependant, quand je calcule det(XId-A), je trouve $\text{[math]}$ ce qui n'est pas égal à mon résultat précédent.
J'ai vérifié mes calculs et même sur un calculateur en ligne de déterminant (wims), je trouve $\text{[math]}$ si je calcule det(A-XId) ou $\text{[math]}$ si je calcule det(XId-A) alors qu'il devrait y avoir uniquement un changement au niveau des signes et non des coefficients ( $\text{[math]}$ ).

Si quelqu'un pourrait trouver vient d'où mon erreur car je ne sais plus si je peux calculer le polynôme caractéristique en faisant det(XId-A) maintenant vu que mon résultat est faux avec cette formule...

**gg0** · 04/01/2015, 13h52

Bonjour.

je ne sais pas comment tu fais les calculs, mais les matrices A-XId et XId-A sont exactement opposées. Il doit y en avoir une de fausse !

Cordialement.

**gg0** · 04/01/2015, 13h55

Mon esclave numérique me dit que c'est le 4 qui est bon.

**Médiat** · 04/01/2015, 14h08

Et mon instinct, guidé par une racine évidente, aussi !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Elodie_Mat** · 04/01/2015, 14h21

Bonjour gg0, mes calculs sont les suivants :

det(XId-A) = det $\text{[math]}$ qui est égal à (X-4)*[(X+4)(X-3)-(-1)*(-1)] +(-1)^(1+2)*5*[-3(X-3)-(-1)*(-1)] +2*[-3*(-1)-(-1)*(X+4)] en développant par rapport à la 1ère ligne.
Ce qui donne (X-4)(X²-3X+4X-12-1) -5(-3X+9-1) +2(3+X+4) = (X-4)(X²+X-13) -5(-3X+8) +2(X+7) = $\text{[math]}$ .

det(A-XId) = det $\text{[math]}$ qui est égal à (4-X)*[(-4-X)(3-X)-(-1)*(-1)] +(-1)^(1+2)*5*[-3(3-X)-(-1)*(-1)] +2*[(-3*(-1)-(-1)*(-4-X)] en développant par rapport à la 1ère ligne.
Ce qui donne (4-X)(-12+4X-3X+X²-1) -5(-9+3X-1) +2(3-4-X) = (4-X)(X²+X-13) -5(3X-10) +2(-X-1) = $\text{[math]}$

**Elodie_Mat** · 04/01/2015, 14h23

Oui je sais que la bonne réponse est avec le 4 mais le calcul de mon déterminant avec (XId-A) me donne 26 alors que j'ai refait le calcul 10 fois et je ne vois pas mon erreur

**Médiat** · 04/01/2015, 14h25

Le premier calcul est clairement faux (pourquoi 5 et pas -5 à la première ligne ?)

**Elodie_Mat** · 04/01/2015, 14h35

Parce que j'ai tout simplement oublié de multiplier tous les coefficients de A par -1 alors que j'avais juste changé les coefficients sur la diagonale

! Merci beaucoup de m'avoir fait réaliser cette erreur.

Polynôme caractéristique