Bonsoir à tous,
Voici un problème m'ayant été proposé :
On considère l'équation x'' = F(x) définie dans un intervalle de R. On a donc le système suivant : (*) x'=y y'=F(x).
(a) Montrer que l'énergie totale E = T + U est une intégrale première de (*), où T = (y^2)/2 est l'énergie cinétique et U(x) = (- intégrale de x0 à x de F(s) ds) est l'énergie potentielle.
(b) Montrer que tous les points singuliers de (*) sont sur l'axe des x. Montrer que toutes les orbites périodiques de (*) interceptent l'axe des x et sont symétriques par rapport à cet axe.
(c) Montrer que si U(x1) = U(x2)=c et U(x) < c pour x1 < x < x2 alors (*) possède une orbite périodique passant par les points (x1,0) et (x2,0).
(d) Supposons que F(x) différent de 0 pour 0 < |x-x0| < a. Montrer que (*) possède une singularité du type centre (resp. Du type col) en (x0,0) si U(x0) est un minimum (resp maximum) local de la fonction U.
Pour les questions (a) et (b) c'est bon. Pouvez-vous m'aider pour les deux dernières ?
Merci beaucoup
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