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Systèmes.



  1. #1
    Poussiquette89

    Exclamation Systèmes.


    ------

    Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

    1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
    2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
    3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

    Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
    Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
    La 3ème question devient plus problématique, en effet:
    Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

    Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Julien_2007

    Re : Systèmes.

    Citation Envoyé par Poussiquette89 Voir le message
    Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

    1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
    2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
    3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

    Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
    Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
    La 3ème question devient plus problématique, en effet:
    Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

    Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.
    Salut,

    Demande à Al-Kashi, c'est un rusé celui là

  4. #3
    GalaxieA440

    Re : Systèmes.

    Ce type d'équation s'appelle une équation diophantienne. Ici ton expression est factorisée telle que A*B=217. Cette expression se traduit par le fait que A ou/et B divise 217. Donc comme tu as tous les diviseurs de 217 (il y en a 8, n'oublie pas les solutions négatives.), tu peux poser tes systèmes :

    Premiers systèmes :
    (x+y)=-217
    (x²-xy+y²)=-1

    (x+y)=-31
    (x²-xy+y²)=-7

    etc....

    En fait si tu pose A = les diviseurs de 217, alors tu n'aura plus qu'une solution pour B qui appartiendra elles aussi à l'ensemble des diviseurs. Tu devrais alors tu retrouver avec 8 systèmes qui te donnent 8 couples solutions.
    Je te conseil de regarder la nouvelle rubrique de spe maths, il doit y en avoir un exemple....

    ++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Systèmes.

    Tu peux aussi faire preuve d'un peu d'astuce. Tu as montré que :
    (x + y)*(x² - xy + y²) = 217
    et tu vas tâtonner sur la valeur de la somme (x + y) qui peut valoir 1 ou 7, ou ..
    Ecris donc que x² - xy + y² = (x+y)² - 3 xy
    Tu vas voir que si tu te donnes (x+y) comme dit plus haut, tu vas immédiatement en déduire le produit xy, donc problème connu : calculer x et y connaissant la somme et le produit.

  6. #5
    Poussiquette89

    Re : Systèmes.

    Je vous remercie pour l'aide apportée et le temps passé.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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