Systèmes.

[invitef2708712]

Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
La 3ème question devient plus problématique, en effet:
Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.
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[invite5aa45ad1]

Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
La 3ème question devient plus problématique, en effet:
Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.

Salut,

Demande à Al-Kashi, c'est un rusé celui là

[invite787dfb08]

Ce type d'équation s'appelle une équation diophantienne. Ici ton expression est factorisée telle que A*B=217. Cette expression se traduit par le fait que A ou/et B divise 217. Donc comme tu as tous les diviseurs de 217 (il y en a 8, n'oublie pas les solutions négatives.), tu peux poser tes systèmes :

Premiers systèmes :
(x+y)=-217
(x²-xy+y²)=-1

(x+y)=-31
(x²-xy+y²)=-7

etc....

En fait si tu pose A = les diviseurs de 217, alors tu n'aura plus qu'une solution pour B qui appartiendra elles aussi à l'ensemble des diviseurs. Tu devrais alors tu retrouver avec 8 systèmes qui te donnent 8 couples solutions.
Je te conseil de regarder la nouvelle rubrique de spe maths, il doit y en avoir un exemple....

++

[invitea3eb043e]

Tu peux aussi faire preuve d'un peu d'astuce. Tu as montré que :
(x + y)*(x² - xy + y²) = 217
et tu vas tâtonner sur la valeur de la somme (x + y) qui peut valoir 1 ou 7, ou ..
Ecris donc que x² - xy + y² = (x+y)² - 3 xy
Tu vas voir que si tu te donnes (x+y) comme dit plus haut, tu vas immédiatement en déduire le produit xy, donc problème connu : calculer x et y connaissant la somme et le produit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef2708712]

Je vous remercie pour l'aide apportée et le temps passé.