Fonctions différentiables

[invite1eb2a065]

Bonjour tout le monde
On commence les fonctions différentiables et j'ai du mal à comprendre. Voici un exercice du genre:
Étudier la différentiabilité en (0,0) de la fonction définie par:

Je vois qu'une fonction est différentiable en un point M si
C'est à dire: avec le point et qui joue le rôle de l'accroissement
J'aimerai savoir ce que signifie le l(H) ? Et est-ce que ?
Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Tu n'as pas une définition complète ? car ce qu'est l(H) fait partie de la définition. Quant à ||H||, c'est bien ça. Ou n'importe quelle autre norme, mais c'est la plus courante.

Cordialement.

[invite1eb2a065]

J'ai pu noter dans mon cours : l'application linéaire l est unique, elle est notée et est appelée application différentielle de f au point M. Ça ne me parle pas plus que ça, à part peut être qui me fait penser à mais je sais que ce n'est pas ça .. J'espère que je vais pas trop galérer avec ce chapitre

[Seirios]

C'est justement la définition de différentielle. Après, elle se calcule au cas par cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1eb2a065]

Donc l est la différentielle si j'ai bien compris. Et donc (d'après des recherches), la différentielle est. Mais quand on nous demande d'étudier la différentiabilité en (0,0), c'est pour voir si la fonction est différentiable en (0,0) ou calculer sa différentielle en (0,0) ?

[gg0]

Bon,

tu n'as toujours pas donné la définition complète, et voilà pourquoi tu as des difficultés. Sans doute n'as-tu pas eu le temps de tout noter proprement; dans ce cas, on prend aussi des bouquins (à la BU ou ailleurs) pour avoir des textes mathématiques complets et bien écrits.
La définition de "f est différentiable en (x,y)" est "f est différentiable en (x,y) si il existe une application linéaire l ...."
Ce qui répond à ta question : Pour étudier la différentiabilité, il faut montrer l'existence de l : Soit en l'exhibant, ce qui donne au passage sa différentielle, soit par des théorèmes sur la différentiabilité de certains types de fonctions (sommes de fonctions différentiables, ...)
Dans ton cas, (0,0) est un cas spécifique qui nécessite un retour à la définition. A moins que f ne soit pas continue ...

Cordialement.

[invite5161e205]

Je pense qu'il faut étudier :
- la continuité en 0
- la dérivabilité des dérivées partielles de f par rapport à x et à y

On peut noter qu'en passant f en coordonnées polaires, le dénominateur disparait, et f est de manière évidente C_infini

[invite1eb2a065]

Bon je peux calculer pour trouver quelque chose de la forme (soit la différentielle). Mais il existe pas une autre égalité de définition ou un théorème pour aller plus vite ?

[invite51d17075]

On peut noter qu'en passant f en coordonnées polaires, le dénominateur disparait, et f est de manière évidente C_infini

très malin.
et pour le passage en polaire on peut déjà simplifier
f(x,y)=(x-y)(1+xy/(x²+y²))

[invite51d17075]

ce qui devient en polaire:

[invite1eb2a065]

f(x,y)=(x-y)(1+xy/(x²+y²))

Sûr pour la simplification ansset ? J'ai l'impression qu'il y a une erreur ..

[gg0]

Ansset a dû faire une confusion,

il n'y a pas de simplification. Tout juste une factorisation

Et en polaire, simplement

Dont la limite, quand (x,y) tend vers (0,0) est évidente.

Cordialement.

[invite51d17075]

Ansset a dû faire une confusion,

il n'y a pas de simplification. Tout juste une factorisation

.

c qui revient à ce que j'ai écris , non.
à savoir
(x-y)(1+(xy)/(x²+y²))
en mettant ( x-y) en facteur commun.

[invite51d17075]

f(x,y)=(x-y)(1+xy/(x²+y²))

en ramenant au même dénominateur on a:
(x-y)((x²+y²)+xy)/(x²+y²)
le dénominateur développé donne
x^3 +xy²+yx²-yx²-y^3-xy²=x^3_y^3
je ne vois pas ou est "l'erreur".

[invite51d17075]

il fallait lire évidemment numérateur ds la dernière phrase.

[gg0]

Désolé,

Ansset, j'ai raté ton parenthésage, et comme il n'y a pas simplification, mais transformation de la fraction, je n'ai pas compris ce que tu faisais.
Pourquoi n'avoir pas écrit en LaTeX ?

D'autant que ça ne sert pas pour prouver la continuité.

Pour le caractère non plus, d'ailleurs.

Cordialement.

[invite51d17075]

D'autant que ça ne sert pas pour prouver la continuité.
Pour le caractère non plus, d'ailleurs.

désolé pour le latex, mais je n'ai plus les bornes automatiques.
donc je me lasse parfois de tout écrire à la main.
sur le fond, pourquoi dis tu que celà ne prouve pas c-inf, une fois écrit en polaire?
qcq chose doit m'échapper.
Cdt

[invite51d17075]

donc en résumé , en quoi ma transcription polaire est fausse ?
ou en quoi ne prouve-t-elle pas Cinf ?

[gg0]

Je te dis que je me suis trompé, ayant raté une parenthèse. Ce que tu fais est bon. Pas nécessaire, mais juste : Il n'est pas nécessaire de faire apparaître le 1 pour prouver la dérivabilité indéfinie.

Tu n'as pas, en mode répondre, ( ou en passant de la réponse rapide au mode avancé), le bouton LaTeX ?

[invite51d17075]

non; il a disparu comme d'autres fonctions...
je fais avec
cordialement.

ps je ne fais pas apparaitre le 1 volontairement , j'essayais de simplifier la fonction , tout bêtement.
et en plus ,j'ai essayé manuellement de l'"crire en latex justement

[gg0]

C'est bizarre, que tu n'aies plus toutes les fonctionnalités. peut-être réinstaller le navigateur (j'utilise Firefox, je n'ai pas de souci de ce genre).
mais j'ai bien un petit souci : Dans les zones de réponse, le curseur a tendance à disparaître !

Cordialement.

NB : Et encore désolé pour ne pas avoir compris.

[invite51d17075]

merci, réponse par MP envoyée.