Bonjour à tous,
Soit H un espace de Hilbert séparable (de dimension infinie) et T un opérateur auto-adjoint compact sur H. Je voudrai montrer que le spectre ponctuel est nécessairement une suite finie ou une suite infinie qui converge vers 0. Pour cela, on procède par l'absurde. On dit alors que
il existe une suite de réels non nuls du spectre ponctuel tous distincts qui converge vers un réel non nul (P)Mais je ne comprends pas en quoi cela est exactement la négation de ce qu'on veut montrer.
En effet, la négation de ce qu'on veut montrer est selon moi "le spectre ponctuel est de cardinal infini et est soit une suite infinie (i.e un ensemble dénombrable) dont les éléments ne tendent pas vers 0, soit un ensemble non dénombrable. Comment montrer la proposition P dans le cas où le spectre ponctuel est non dénombrable ?
Je pense à la séparabilité bien évidemment, mais je ne sais pas comment l'exploiter. Ce que je peux en tirer jusqu'ici c'est que tout vecteur propre associé à un élément du spectre ponctuel admet une suite de A qui y converge dans H, où A est une partie de H dense dans H.
Bien cordialement.
-----