Existence d'un développement limité
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Existence d'un développement limité



  1. #1
    invite1dfd30a5

    Lightbulb Existence d'un développement limité


    ------

    Je ne sais pas comment prouver l’existence d'un développement limité l’ordre n sans montrer qu'elle est de classe C^n
    Par exemple pour les fonctions définie sur R* x->(e^x-1)/x ou encore x->(sh(x)-sin(x))/(sin(x)sh(x))
    Comment montrer qu'elles admettent un développement limité sans avoir besoin de déterminer leur classe ?

    Merci de votre aide

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Existence d'un développement limité

    Bonjour.

    Pas de difficulté, puisqu'on peut déterminer (au moins pour la première, mais tu verras pour l'autre) un DL à l'ordre n par les calculs habituels. En partant d'un DL à l'ordre n+1 de e^x-1.

    Cordialement.

  3. #3
    invite1dfd30a5

    Re : Existence d'un développement limité

    Je ne comprends pas pourquoi on aurait le droit de faire un développement limité du numérateur en 0 alors qu'on ne sait pas si elle est C^n ou non (ici elle l'est mais dans un autre exemple elle ne le serait peut être pas). Je sais juste qu'une fonction admet un développement limité si elle est C^n d'après la formule de Taylor-Young.
    Je constate qu'il a été évident pour toi de voir qu'elle admettait un développement limité mais je ne comprends pas comment tu peux le savoir directement

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Existence d'un développement limité

    Ben, il est évident que le numérateur est .
    Et comme le DL obtenu est un multiple de x ....

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite1dfd30a5

    Re : Existence d'un développement limité

    Et donc pour la seconde je pourrais raisonner avec les équivalents de la fonction sinus et cosinus pour faire apparaître un monôme (x^2) au dénominateur et comme le DL de mon numérateur sera un multiple de x ma seconde fonction admet un DL ?

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Existence d'un développement limité

    Non, il faut appliquer les règles de calcul sur les DL.

    Dans les deux cas, il s'agit d'un vrai calcul sur les DL (*), pas de baratiner. Donc soit tu les fais (en respectant les règles), soit ce n'est pas la peine d'en parler. Si tu fais ces calculs ici, on pourra te dire ce qui va.

    Cordialement.

    (*) pas sur les parties polynômes, sur le DL complet.

  8. #7
    invite1dfd30a5

    Re : Existence d'un développement limité

    on connait le DL de sin et sh en 0 : sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)
    sh(x)=x+x^3/6+o(x^3)
    donc le DL de sin*sh en 0 : sin(x)*sh(x)=x^2
    on constate que le dénominateur est un monôme du second degré donc f admet un DL à l'ordre 2 si et seulement si le DL à l'ordre 5 du numérateur a un premier terme de la forme A*x^n avec A constante et n>=2
    sh(x)-sin(x)=x^3/3 en 0
    On en déduit que f admet un DL et (sh(x)-sin(x))/(sh(x)*sin(x))=x/3 en 0

    Si c'est bien ça, on prouve l’existence du DL en le calculant

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Existence d'un développement limité

    Tout est à revoir, car tu parlais d'un DL à l'ordre n, et ici tu n'évoques aucun ordre.

    Sans parler de donc le DL de sin*sh en 0 : sin(x)*sh(x)=x^2 où il manque le complément.

    Sinon, pour prouver que (sh(x)-sin(x))/(sh(x)*sin(x)) admet un DL (à quel ordre au fait -) ?), tu es sur la piste. Seulement dans la bonne direction. Et un DL à l'ordre 1 ne prouve pas l'existence d'un DL à l'ordre 2, ou 3, ou 2000.

    Cordialement.

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