TF de sin(2piax) à partir de l'integration complexe

[Minialoe67]

Bonjour,

j'ai un exercice que je n'arrive pas à boucler.
L'objectif est de calculer la transformée de Fourier de sin(2.pi.a.x)/x (a>0) à partir de l'intégration dans le plan complexe.

On doit d'abord calculer I(v) qui est l'intégrale de -infini à + infini de exp(ivx)/x.
J'ai supposé v>0, et j'ai appliqué les lemmes de Jordan 2 et 3 sur un circuit fermé qui contient 2 arcs de cercle, un qui évite le pôle 0, de rayon r qui tend vers 0 et un qui ferme le circuit dont le rayon R tend vers l'infini.
Après j'ai appliqué le Théorème de Cauchy et j'en déduis que pour v>0, l'intégrale de -infini à + infini de exp(ivx)/x vaut i.pi !

Mais quelle serait la réponse si v était négative?

Ensuite, il faut en déduire la TF de sin(2.pi.a.x)/x (a>0).
J'ai écrit l'intégrale correspondante, mais je ne vois pas comment je peux la trouver à partir de I(v).

Merci de m'aider
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[gg0]

Bonjour.

Quand on cherche un lien entre un sinus et des exponentielles, toujours penser aux formules d'Euler.

Cordialement.

[Minialoe67]

Oui j'avais commencé à faire ça mais je n'aboutis à rien car je trouve (quand j'écris la formule de la TF en mettant ensemble le sin(2.pi.ax) et l'exponentielle(-2.pi.j.nu.x)):

l'intégrale de [ exp(2.pi.j(a-nu)x) - exp(-2.pi.j(a+nu)x) ] / x et ça, bah je sais pas quoi en faire!

[gg0]

En général, à ton niveau, on sait décomposer une fraction qui a une somme au numérateur en somme de deux fractions. et l'intégrale d'une différence en deux intégrales.

A noter : Tu ne trouves pas bizarre que ton I(v) ne dépende pas de v ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Minialoe67]

En général, à ton niveau, on sait décomposer une fraction qui a une somme au numérateur en somme de deux fractions. et l'intégrale d'une différence en deux intégrales.

Oui, à mon niveau je sais faire ça, mais ça ne m'aide pas plus... A la limite je peux encore décomposer ces exponentielles en cos + i sin, mais après j'aurais 4 intégrales...

A noter : Tu ne trouves pas bizarre que ton I(v) ne dépende pas de v ?

Heu... je sais pas. Quand je reprends mon raisonnement pour avoir trouvé i.pi, ça provient du lemme de Jordan 3 pour le "petit" arc de cercle de mon contour autour du pôle 0. et le v n'apparait pas!

[gg0]

Je n'ai pas compris pourquoi tu utilises une fois i, une autre fois j, mais avec la formule d'Euler, tu as bien des intégrales de exp(ivx)/x dont on t'a fait faire le calcul précédemment, non ?

[Par changement de variable t=vx, on voit que l'intégrale dépend de v.] Faux ! l'intégrale est bien constante.

[gg0]

En regardant de plus près le changement de variable, on voit que I(v)=signe(v)I(1). Pour v réel.

[Minialoe67]

Pour les i et j, c'est des étourderies de ma part. (i=j= j complexe)

Pour le changement de variable je ne vois pas de quoi vous parlez:
c'est quand on a TF{sin(2.pi.a.x)/x} = l'intégrale de exp(2.pi.j(a-nu)x) / x - l'integrale de exp(-2.pi.j(a+nu)x) ] / x
avec v=a-nu puis v =a+nu ?

[Minialoe67]

je suis d'accord vous avec pour I(v)=signe(v).i.pi =signe(v).I(1)

[gg0]

Et donc le calcul de ta TF se ramène à deux I(v) pour des v bien choisis.

[invite7c2548ec]

Bonjour:

@gg0:Je pense que Minialoe67 veux interpréter la TF , on utilisant le théorème des résidus pour le calcule intégrale à variable réel .

Cordialement

[Minialoe67]

Donc
d'un côté v = a - nu >0
de l'autre v = - (a + nu) <0

On a donc bien 2 I(v).
Donc la TF c'est 2.i.pi ?

[gg0]

Bonjour.

La TF est une fonction de nu; nu est une variable, qui peut très bien être supérieure à a.

Et 2 i pi est une constante, Donc déjà la TF de ...

Cordialement.