Semi continuité inférieure

[invite6f2857ec]

Bonjour,
J'ai du mal à comprendre la définition suivante pour la semi-continuité inférieure :
f est dite semi-continue inferieument en x appartenant X si pour toute suite x_k d'éléments
convergeant vers x on a :
f(x)<= lim inf f(x_k)
k-> infini
En fait je comprends pas l'intérêt de passer par une suite convergeant vers x.
-----

[invite93e0873f]

Bonjour,

Ayant toujours de la difficulté à me rappeler des définitions des diverses semi-continuités, je pense dorénavant à ces choses à des termes plus flous, mais qui me sont de prime abord plus évocateurs.

Une fonction est continue en un point si, pour ainsi dire, la fonction ne peut pas « spontanément » croître ou décroître dans un voisinage suffisamment petit de compris dans le domaine.

De manière plus précise, une fonction est semi-continue supérieurement (respectivement, inférieurement) en un point si, pour ainsi dire, la fonction ne peut pas « spontanément » croître (respectivement, décroître) dans un voisinage suffisamment petit de compris dans le domaine.

Appliquons cette idée à votre exemple, que je reformule dans mes notations comme suit : « une fonction est semi-continue inférieurement en un point si pour toute suite () convergeant vers , nous avons . »

Le fait de considérer n'importe quelle suite convergeant vers revient indirectement à considérer le comportement de dans un voisinage suffisamment petit de . En considérant la limite inférieure de ces suites, nous tâchons de voir quelle est la plus petite valeur (en ordonnée) qui nous est possible d'approximer via cette suite ; si la fonction ne peut « spontanément » décroître près de , nous ne pouvons pas approximer une valeur inférieure à , d'où l'inégalité .

Un exemple est peut-être plus parlant : soit la fonction valant si et valant si . Cette fonction est discontinue précisément en . On se rend compte que pour tout voisinage de 0, c'est-à-dire à « perturbant » le point du domaine près de , la fonction peut autant croître que décroître, mais la décroissance se produit toujours continûment alors que la croissance peut être brusque. En ce sens, cette fonction ne décroît pas spontanément près de 0 : elle est semi-continue inférieurement en . Nous voyons bien que , de sorte que dans la limite , l'intervalle image est ; l'infimum de ceci étant , nous voyons que est tout au moins égal à cet infimum pour toute suite convergeant vers x=0. Bref, , démontrant la semi-continuité inférieure explicitement.