Trois points appartenant à une même droite

[invite4c68308c]

Bonjour,
J'ai tenté de résoudre cet exercice mais je n'y arrive pas. Voici l'énoncé

Dans un plan xy, on considère trois points A(a₁,a₂,a₃), B(b₁,b₂,b₃) et C(c₁,c₂,c₃).
Montrer que la condition nécessaire et suffisante pour que les trois points appartiennent à la même droite (propre ou impropre) est que le déterminant formé par les coordonnées des trois points soit nul :



J'ai tenté de trouver sur internet comment résoudre une matrice 3x3, ce qu'on n'avait pas appris en terminale, j'ai réussi à le mettre sous forme d'équation :


Je ne sais pas quoi faire de cette équation, et comment répondre à la question en l'utilisant.

Merci d'avance
-----

[ansset]

bonjour,
diff de te répondre avec justesse sans savoir ce qu'on t'a enseigné sur la(les) significations des déterminants ( à part le calcul )
par exemple , tu peux voir ta matrice comme une transformation de tout X(x1,x2,x3) en X'(x'1,...)
avec X'=MX
on apprend par exemple que:
A un système de n équations et n inconnues peut être associé un déterminant. L'existence et l'unicité de la solution est obtenue si et seulement si le déterminant est différent de 0.
je ne sais pas si je t'aide.
essayes par exemple aussi de voir ce que vaut le déterminant si AB=kAC ( A,B,C sur une même droite )

ps : je suppose que tu parle de l'espace x,y,z et non du plan x,y. !

[invite4c68308c]

Merci pour ta réponse,

Je suis en première année de licence, et mis à part le calcul d'un déterminant d'une matrice 2x2, nous n'avons encore rien appris dessus

Je comprend ce que tu dis mais je ne vois pas bien où est ce que tu veux en venir pour pouvoir répondre au problème ...

J'ai essayé de trouver un lien entre le fait que les vecteurs et soient colinéaires et que le déterminant en question soit égale à 0 mais je ne le trouve pas.

La relation pour la colinéarité des deux vecteurs et que j'obtiens est :

[invited3a27037]

bonjour

Dans un espace de dim 3, trois vecteurs u(a1,b1,c1), v(a2,b2,c2), et w(a3,b3,c3) forment une famille liée ssi le déterminant 3x3 des coordonnées est nul.

C'est de ce coté qu'il faut chercher à mon avis

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

je reconnais que mon approche est un un peu "bourrine".
mais de chacune de tes égalités, tu peux remplacer a1 en fct de k et de termes uniquement en b1,b2 et c1, c2.
idem pour a2 et a3
en réécrivant proprement ton déterminant ( -a3b2c1 et non -a3b2c3 , tous les termes s'annulent deux à deux.)
évidement en supposant k diff de 1 sinon deux points sont confondus. donc le pb ne se pose plus.

[ansset]

bonjour

Dans un espace de dim 3, trois vecteurs u(a1,b1,c1), v(a2,b2,c2), et w(a3,b3,c3) forment une famille liée ssi le déterminant 3x3 des coordonnées est nul.

C'est de ce coté qu'il faut chercher à mon avis

je suis d'accord, mais pauline est peu prolixe sur ce qu'elle a appris, ou pas.
l'exercice est il pour appliquer une règle apprise , ou pour la recalculer/retrouver ?

[gg0]

Bonjour.

Dans un plan xy, on considère trois points A(a₁,a₂,a₃), B(b₁,b₂,b₃) et C(c₁,c₂,c₃).

Bizarre ! Bizarre !
Si c'est dans un plan, quel type de coordonnées est-ce ? En général, on n'utilise que 2 coordonnées pour un plan. S'agirait-il de coordonnées homogènes ?

Un énoncé complet et fiable ne serait pas de trop.

Cordialement.

[invite4c68308c]

Bonsoir,

mais de chacune de tes égalités, tu peux remplacer a1 en fct de k et de termes uniquement en b1,b2 et c1, c2.
idem pour a2 et a3
en réécrivant proprement ton déterminant ( -a3b2c1 et non -a3b2c3 , tous les termes s'annulent deux à deux.)

Je commence à comprendre ce que je dois faire, mais je ne vois pas bien ce que je dois remplacer par k ? Dois-je remplacer tous les a₁, a₂ et a₃ par k ?

je suis d'accord, mais pauline est peu prolixe sur ce qu'elle a appris, ou pas.
l'exercice est il pour appliquer une règle apprise , ou pour la recalculer/retrouver ?

Je n'ai appris qu'à calculer le déterminant d'une matrice 2x2.

Nous n'avons pas de cours, ni de règle, ni quoi que ce soit, cet exercice n'est même pas dans le cadre d'un cours de maths mais dans le cadre d'un Atelier de Recherche Encadrée sur les coniques, dont je ne connais encore rien non plus puisque je n'ai eu que 2 cours. Je n'ai donc aucune base concrète pour résoudre cet exercice, c'est pour cela que j'ai un peu de mal.

Si c'est dans un plan, quel type de coordonnées est-ce ? En général, on n'utilise que 2 coordonnées pour un plan. S'agirait-il de coordonnées homogènes ?

Un énoncé complet et fiable ne serait pas de trop.

Je trouve également cela bizarre, je ne comprend pas la signification de cette expression. L'énoncé que j'ai donné est l'intitulé exacte que nous a donné notre professeur.

Cordialement.

[gg0]

Alors il serait bon de le contacter pour savoir de quoi il parle : C'est son travail de vous donner des énoncés cohérents.

Cordialement.

[azizovsky]

Bonsoir, soit les vecteurs : on forme la matrice



si les 3 lignes de la matrice était linéairement dépendantes, il en serait de mêmes des lignes du déterminant, d'où la nullité

[invite4c68308c]

Bonsoir, soit les vecteurs : on forme la matrice



si les 3 lignes de la matrice était linéairement dépendantes, il en serait de mêmes des lignes du déterminant, d'où la nullité

Bonsoir, merci de ta réponse

Que signifie exactement "linéairement dépendantes" ?

[azizovsky]

Bonsoir , càd càd il existe un facteur de proportionnalité entre les vecteurs. (ils appartiennent à la même droite)

[gg0]

Une remarque pour tous ceux qui supposent que ce sont des points de l'espace : les points A,B, C de l'espace peuvent être alignés sans que le déterminant de leurs coordonnées soient nul : Cette condition (déterminant nul) dit seulement que le plan ABC passe par l'origine du repère (les vecteurs OA,OB et OC sont alors coplanaires).

Donc il y a une subtilité (géométrie projective ?) qui est à déterminer.

Cordialement.

[invited3a27037]

@gg0: pour moi, si 3 points A, B, C sont alignés dans l'espace, alors les vecteurs OA, OB et OC sont liés et le déterminant des coordonnées est nul. Et la réciproque est fausse.

[eudea-panjclinne]

Il s'agit de géométrie projective (l'énoncé parle de droites propres et impropre), les trois coordonnées sont des coordonnées homogènes. Le plan xy est le plan projectif en bijection avec l'espace vectoriel IR^3, des droites vectorielles orientées passant par les points A(x,y,z) de IR^3 vu comme espace affine.

[azizovsky]

Donc il y a une subtilité (géométrie projective ?) qui est à déterminer.

.

Bonsoir, je vais le vérifier. (j'ai un livre de géométrie supérieure de N. Efimov, j'ai oublié où...), pour ce que j'ai écrit avant, je viens de vérifier dans: Algébre linéaire et géométrie différentielle de M. postnikov, il a fait le même raisonnement.

[gg0]

Il s'agit de géométrie projective (l'énoncé parle de droites propres et impropre),...

Effectivement. C'est bien pourquoi j'ai parlé dès le début de coordonnées homogènes. D'ailleurs les trois points du plan projectifs sont alignés si les points correspondants de l'espace sont dans un même plan passant par O.

Ce qui est surprenant, c'est qu'on est en L1 et qu'on y fait rarement de la géométrie projective. Erreur d'énoncé ou cours mal compris par Pauline ?

[gg0]

@gg0: pour moi, si 3 points A, B, C sont alignés dans l'espace, alors les vecteurs OA, OB et OC sont liés et le déterminant des coordonnées est nul. Et la réciproque est fausse.

Rappel : Dans l'énoncé, il s'agit de condition nécessaire et suffisante.

Si le déterminant est nul, les trois vecteurs sont coplanaires, donc O,A,B et C sont dans un même plan. Le cas A,B,C alignés est un cas particulier où O,A,B et C sont dans un même plan, le plan passant par O et contenant la droite des trois points.

Cordialement.

[ansset]

Rappel : Dans l'énoncé, il s'agit de condition nécessaire et suffisante.
.

précision indispensable en effet !

[azizovsky]

Bonsoir, soit les coordonnées de l'un des points donnés dans un système de coordonnées homogènes sur le plan et les coordonnées du point dans un système de coordonnées homlogènes sur le plan . il s'agit de choisir les paramètres de l'application linéaire:
(1)
de telle façon que son déterminant soit non nul et que les points se transformeent en respectivement.
pour qu'ils soit ainsi, il faut aussi évidemment que les relations :
(2)
permettent de déduire les paramètres et les quantités (où est un facteur du premier ordre de (1) défini par le choix des coordonnées homogènes des points et ), et cela de façon que les paramètrers vérifient la condition .
remarquons tout d'abord qu'aucun des déterminant du troisième ordre de la matrice



n'est nul. en effet, si l'on avait par exemple l'équalité:



il y aurait des relations linéaire :



si bien que les point seraient alignés sur la droite

.

géométrie supérieure N.eEimov page 328

[azizovsky]

correction : il y'a des petites fautes : soit les coordonnées de l'un des points donnés dans un système de coordonnées homogènes sur le plan et les coordonnées du point dans un système de coordonnées homlogènes sur le plan . il s'agit de choisir les paramètres de l'application linéaire:
(1)
de telle façon que son déterminant soit non nul et que les points se transformeent en respectivement.
pour qu'ils soit ainsi, il faut aussi évidemment que les relations :
(2)
permettent de déduire les paramètres et les quantités (où est un facteur du premier ordre de (1) défini par le choix des coordonnées homogènes des points et ), et cela de façon que les paramètrers vérifient la condition .
remarquons tout d'abord qu'aucun des déterminant du troisième ordre de la matrice



n'est nul. en effet, si l'on avait par exemple l'équalité:



il y aurait des relations linéaire :



si bien que les point seraient alignés sur la droite

.

géométrie supérieure N.Efimov page 328[/QUOTE]

[eudea-panjclinne]

Quelque chose de plus synthétique :
Considérez l'espace E rapporté au repère (O, u,v,w), l'espace vectoriel V engendré par les vecteurs u et v.
Le plan projectif (xy) est en bijection avec le plan affine P1 d'équation z=1 constituant l’ensemble des points propres, réuni au plan vectoriel V constitué des demi-droites vectorielles appelées points impropres ou points à l'infini.
Appelons PP cet ensemble : PP=P1 U V
Une droite du plan projectif (xy) est obtenue par l'intersection d'un plan R passant par l'origine avec PP.
1er cas
Les points A,B,C sont propres, ils sont à l'intersections de R avec P1. Les vecteurs 0A,0B,0C sont colinéaires si et seulement si leurs déterminant est nul.
2e cas
A,B sont propres et C impropre, C est un vecteur de V, colinéaire avec les vecteurs OA, OB, c'est alors comme précédemment.
3e cas
A est propre, B et C sont impropres. etc
Faites un dessin en perspective et tout ceci se voit bien.

[azizovsky]

Bonjour, il y'a une autre méthode (contre exemple) pour démontrer que n'est pas suffisante.

soit à calculer le volume d'un parallélépipède dont les trois arêtes d'un même sommet sont les vecteurs . le volume chérché est donné par le produit scalaire du vecteur et du produit vectoriel : (*) , on considère que les vecteur ont même orientation que les axes de coordonnées.(v de signe positif)
les composantes du produit vectoriel sont :


et par suite, le produit (*) est:
)
il est facile de voir que cette dernière somme est le déterminant du troisième ordre :



si ce déterminant s'annule , cela signifie que le volume est nul, autrement dit que les trois vecteurs sont COPLANAIRE.

ps : j'aime bien carreler les équations

[ansset]

si ce déterminant s'annule , cela signifie que le volume est nul, autrement dit que les trois vecteurs sont COPLANAIRE.

là , je ne comprend plus.
A,B,C sont des points dans l'espace, pas des vecteurs.
ou alors tu parles des vecteurs OA,OB,OC.
mais alors ta conclusion est fausse.
mais dans l'exercice , si on parle de vecteurs on prend AB et AC par exemple, ou AB et BC !!!

dans ce cas, il me semble qu'on peut relier le produit vectoriel avec la demo demandée.

[azizovsky]

soit à calculer le volume d'un parallélépipède dont les trois arêtes d'un même sommet sont les vecteurs . le volume chérché est donné par le produit scalaire du vecteur et du produit vectoriel : (*) , on considère que les vecteur ont même orientation que les axes de coordonnées. [/TEX]

toutes les donnés sont là.

[ansset]

toutes les donnés sont là.

peut être.
mais je ne vois pas le lien entre ta propre citation et l'énoncé initial.
désolé.

[azizovsky]

Salut, moi aussi je suis désolé si j'étais un peu 'sec', j'ai répondu à l'assertion

Les vecteurs 0A,0B,0C sont colinéaires si et seulement si leurs déterminant est nul

.(il n'y a pas d'équivalence : implication a sens unique), bonne journée.
le lien est que l'énoncé est un cas particulier comme a dit .

[ansset]

salut,
alors il y a incompréhension mutuelle.
car la phrase que tu cites, je ne l'ai vu nul part !
et si elle existe, de qui provient-elle ?
cordialement.