EDO Solution bornée uniformément

[invite7ec123bc]

Salut,

On considère l'EDO suivante : et avec

A quelle condition sur , la solution est-elle bornée uniformément sur ?

Je ne vois pas du tout comment prendre cette question. Je tente sans succès de majorer pour la norme infinie.

Une piste ? Merci d'avance.
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[invite93e0873f]

La solution de ce problème est avec .

Si est un vecteur propre de la matrice (de valeur propre ), alors est un vecteur propre de la matrice (de valeur propre ) quel que soit .

Si admet une base de vecteurs propres, alors en écrivant chaque vecteur-colonne de comme combinaison linéaire des vecteurs propres de , il est assez aisé d'identifier la condition nécessaire et suffisante répondant à votre question.

[invite5805c432]

on sait résoudre ce genre d'equations, qui donne exp(tA) . X_0
donc il faut etudier la matrice A plus en detail, pour connaitre la forme de exp(tA)
donc tu regardes les vap de A. t'en a 2 evidentes, 0 et 1. en regardant le polynome caractéristique, 1 est de multiplicité 2, mais A n'est pas diagonalisable.
Donc tu calcules la matrice de passage P pour triangulariser la matrice, et la condition sera du genre P X_0 doit etre dans ss espace vectoriel de dimension 2 engendré par le vecteur propre associé à 1 et le vep associé à 0.

apres faut etudier, si la condition n'est pas vérifiée, alors la solution explose

[invite7ec123bc]

Merci pour vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]