Continuité

[Tippex1]

Salut,

Alors j'ai du mal à résoudre un exercice et j'aimerai savoir si quelqu'un pourrait m'épingler ou me donner un coup de pouce pour que je puisse avancer


Soit f fonction continue sur R , tel que pour tout x appartenant à l'ensemble des rationnels f(q)= q Calculer f(x) pour tout x appartenant à R


Mon idée intuitive étant : Qu'entre deux points strictement successifs et rationnels on ne peut intercaler qu'un autre point (irrationnel ) de plus on a la continuité ... d'où ce point sera forcement image de la même fonction que pour les Q...

Je n'arrive pas du tout à commencer le début de ma preuve... ( si toutefois mon idée est potable...)

Merci d'avance!
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[gg0]

Bonjour.

Ta conclusion est correcte, mais auparavant, il y a une grosse erreur de conception : "deux points strictement successifs et rationnels" ??? C'est quoi, des rationnels successifs ? Quel est le successeur de 2/3 ?
Entre 2 rationnels, on peut intercaler une infinité de rationnels et une infinité d'irrationnels : On prend les rationnels en écriture fractionnaire, avec le même dénominateur positif : a/d et b/d, avec d>0 et par exemple a<b. a, b et d sont donc des entiers. Alors les rationnels de la forme a/d+(b-a)/d * k/l où k et l sont des entiers (pour que ce soient des rationnels) non nuls et k<l (pour ne pas dépasser b/d) sont compris entre a/d et b/d. l'idée de base, ici, est que k/l est compris strictement entre 0 et 1.
la même idée marche pour avoir des irrationnels, en prenant des irrationnels entre 0 et 1, par exemple k/l multiplié par 1/racine(2).

Pour ta preuve, les approximations décimales par défaut des irrationnels donnent une suite qui tend vers l'irrationnel. par exemple pour pi : 3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, 3,14159, ... et comme f est continue ...

Cordialement.

[Noix010]

Il y a plusieurs caractérisations de la continuité, l'une d'entre elles est particulièrement adaptée.

En gros tu peux apprendre par coeur
- la définition avec les quelque soit epsilon etc... valable dans les espaces métriques
- la définition la plus générale: est un ouvert
- caractérisation séquentielle: quellle que soit (x_n) suite convergente dans l'espace de départ, alors f(lim x_n) = lim_n f(x_n)

(qui rappelle par exemple linéarité ou morphisme d'algèbre: f(a+b) = f(a) + f(b) ou f(ab)= f(a)f(b))