voilà je me demandais comment on pouvait prouver que les fonctions supérieures ou égales à zéro de L2 forment une partie fermée de L2.
Je pensais montrer la complétude car il me semble dans ce cas que c'est équivalent mais je n'y arrive pas.
Des idées?
J'aimerai aussi une réponse détaillée à cette question (c'est assez bizarre, mais ayant un formation de physicien je bug sur ce genre de chose).
sinon, c'est pas exactement la même question, mais ça y ressemble quand même:
http://math.stackexchange.com/questi...ost-everywhere
remarque: L2 c'est quelque-peu vague... L2([0,1]) n'est pas L2(C), etc.
Je pense que le plus simple est de montrer que le complémentaire est ouvert, i.e. qu'autour d'une fonction strictement négative il existe une boule ouverte (au sens de la norme considérée) constituée de fonctions strictement négatives.
Bonjour,
En soi, ta question n'a pas de sens car l'espace des fonctions positives n'est meme pas un sous espace de L2. Ce sont les fonctions positives presques partout qui le sont.
Voici une preuve tres simple (dans le le cas de L²(R), à adapter dans un autre cas), on a f positive presque partout ssi pour tout I mesurable borné, on a intégrale sur I de f est positive. Or la forme linéaire notée disons H_I qui à f associe l'intégrale de f sur I est continue pour la norme L² par Cauchy-Schwarz. Donc l'ensemble des fonctions positives presque partout etant l'intersection des H_I^{-1}([0, \infty[), qui sont fermes, il est fermé dans L².
oui mipama je n'ai pas précisé mais c'est bien les fonctions positives presque partout. Sinon pour L2 il s'agit de L2(omega,M,landa) avec omega un ouvert de Rn, M la tribu de Lebesgue et landa la mesure de Lebesgue. Comme cela c'est précis
MiPaMa peux tu me donner quelques précisions à propos de ta première équivalence concenant le fait que f soit positive pp. Je ne connais pas la propriété qui permet d'écrire cette équivalence.
hoho, réponse claire et concise de MiPaMa (sauf la remarque qu'un fermé n'est pas forcément un espace vec.)
Je m'essaie à la première équivalence:
: somme de truc positifs ou nul est positive ou nulle, ok.
Merci Noix010 mais je parlais de cette équivalence:
on a f positive presque partout ssi pour tout I mesurable borné, on a intégrale sur I de f est positive.
Je n'ai pas de problème avec le reste de la démonstration mais n'arrive pas à trouver l'explication pour cette équivalence.
Ben si f est positive pp alors l'intégrale de f est positive sur tout sous ensemble mesurable.Envoyé par mondrook
Maintenant si f est strictement négative sur un ensemble de mesure non nulle alors soit I le sous ensemble sur lequel f est négative et I_n={x| -1/n>f(x)}, comme I est la reunion croissante de I_n, on a m(I_n) tend vers m(I) qui est donc strict positif et donc pour un certain n on a m(I_n)=a>0.
On a donc integrale de f sur I_n<-a/n qui est donc stric négatif.
Le point n'est pas qu'il faille etre un ss espace pour etre fermé, ce qui est bien sur faux, c'est que l'ensemble des fonctions positives n'est meme pas un sous ensemble de L². Les elements de L² sont des classes de fonctions, pas des fonctions, et la positivité ne passe pas au quotient (il existe des fonctions positives et non positives qui donnent la meme classe dans L²).sauf la remarque qu'un fermé n'est pas forcément un espace vec.
Merci MiPaMa c'est plus claire. Pour l'histoire des fonctions positives j'ai pris un raccourci mais je ne pensais pas que ça poserait un problème vu que je parlais d'une partie L2 je me disais qu'on allait comprendre que je parlais de fonctions positives pp. Je serai plus précis la prochaine fois.
Pas de souci, c'est un abus de langage qu'on fait tres souvent, mais parfois ca conduit a des choses qui n'ont pas ce sens
