espace de hilbert 2

[mona123]

bonjour pouvez vous me corriger ma reponse pour la question suivante:
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base pour H. Est-ce c’est le cas que chaque élément de H
peut s’ écrire comme une combinaison linéaire d'éléments finis en E?

reponse non
contre exemple
Prenons ℓ2 par exemple, c'est à dire les séquences de carré sommable de nombres complexes avec le produit intérieur
⊂x, Y⊃ = Σn = 1∞xnyn¯¯¯¯¯
Cela a la base orthonormale dénombrable
{(1,0,0, ...), (0,1,0, ...), (0,0,1,0, ...), ...}.
comme
Σ_{n = 1}^∞ 2^-n = 1 <∞
nous avons
(2^-1,2^-2,2^-3, ...) ∈ℓ2
et il est clair que cet élément ne peut être écrit comme une combinaison linéaire finie des éléments de base.
merci en avance
-----

[invite02232301]

Bonjour,
Si, quand tu as une base d'un espace vectoriel, quel qu'il soit, n'importe quel vecteur est combinaison linéaire (finie donc) des elements de la base.
Ici ta "base" de l², n'est pas une base, c'est une base hilbertienne. C'est différent.

[mona123]

bonjour merci pour votre reponse
j'ai compris que ma reponse est fausse
comment alors peut je repondre a la question .merci

[invite02232301]

Quelle est ta question exactement?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mona123]

la question est
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base pour H. Est-ce c’est le cas que chaque élément de H
peut s’ écrire comme une combinaison linéaire d'éléments finis en E?

[invite02232301]

Oui, c'est vrai pour tout espace vectoriel. C'est la définition de base en fait.

[mona123]

en effet
mon problem est :
1)Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H.
Vérifier que E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie 0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)


2)Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base pour H. Est-ce c’est le cas que chaque élément de H
peut s’ écrire comme une combinaison linéaire d'éléments finis en E?
j'ai pu repondre a la premiere question en utilisant le lemme de riesz
mais je n'est pas pu repondre a la deusiemme question .pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci

[invite02232301]

Ok, déja tu utilises base au lieu de base hilbertienne, bon, c'est pas grave.
Donc la réponse est non, tu as trouvé un contre exemple plus haut.

[gg0]

Mona123,

dans le domaine des hilbertiens, au début, il faut s'astreindre à ne pas utiliser le mot base tout seul, puisqu'il a deux sens mathématiques différents. Donc employer "base de l'espace vectoriel H" ou "base hilbertienne de H" pour être clair. Comme tu n'as pas pris cette précaution de langage, ta question initiale a deux sens donc deux réponses.
C'est gênant que une base hilbertienne de H ne soit pas une vase de l'espace vectoriel H; mais comme en général on n'explicite aucune base vectorielle de H, et que c'est pour ça qu'on a introduit les bases hilbertiennes, on s'habitue vite (si du départ on fait la différence - donc si on a bien compris ce qu'est une base d'un espace vectoriel). Et comme on n'utilise plus que des bases hilbertiennes, le fait de dire "base" sans qualificatif est traduit, par habitude, en base hilbertienne.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Mona, vous avez deux fois fait la même erreur, je la relève donc afin de dissiper éventuellement une mécompréhension (peut-être n'est-ce qu'une faute de frappe sans conséquence) :

Il s'agit de "combinaison linéaire finie des éléments de la base", ou de "combinaison linéaire d'un nombre fini d'éléments de la base", mais surtout pas "combinaison linéaire d'éléments finis".

Dans ces deux premières phrases "fini(e)" est un pléonasme, comme l'a fait remarquer MiPaMa, puisque "combinaison linéaire" impose le support fini, mais le pléonasme est moins grave que l'erreur

[mona123]

pouvez vous me dire si je peut rédiger la réponse pour la premiere question comme suit :
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H
E a un nombre fini d'éléments si et seulement si H est un espace vectoriel normé est de dimension finie
et
0 a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie 0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)si et seulement si il existe un compact K c H et il existe r≻0 telque B(0,r)c K si et seulement si il existe un compact K c H et il existe r≻0 telque B'(0,r)c K si et seulement si il existe r≻0 telque B'(0,r) est un compact si et seulement si la boule unité fermée de H est compacte.
doc pour montrer que
E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie 0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)
il suffit de prouver l'equivalence suivante
H est un espace vectoriel normé est de dimension finie
si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.

[gg0]

Ce que tu écris n'est manifestement pas une preuve correctement rédigée. Dès les premières lignes l'énoncé et des éléments de preuve sont allègrement mélangés.Les "si et seulement si" ne réfèrent pas clairement à des propriétés ni avant ni après.

Pour être facilement compris, on démontre les équivalences de trois façons principales :
* On traduit A par des équivalences jusqu'à arriver à B.
* On prouve que A implique B et que B implique A
* On a une série de propriétés intermédiaires et on boucle par des implications; par exemple A implique C qui implique B qui implique D qui implique A.

Donc si tu veux faire la preuve de ton exercice, tu utilises une de ces méthode, clairement. Avec A=" 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact" et B=" E a un nombre fini d'éléments ". Bien entendu, celui qui lit ta preuve sait que E est une base hilbertienne de l'espace hilbertien H et sait ce qu'est un voisinage compact (c'est dans l'énoncé).
En tout cas, tu évites de recopier des bouts d'énoncé qui mélangent hypothèses et parties de la conclusion, ce qui est possible si tu as compris de quoi tu parles, si tu as compris l'énoncé. Jusque là, ce n'était pas le cas.

Cordialement.

[mona123]

est t'il juste maintement:
A=" 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact" implique
C=''il existe un compact K c H et il existe r≻0 telque B(0,r)c K si et seulement si il existe un compact K c H et il existe r≻0 telque B'(0,r)c K'' implique il existe r≻0 telque B'(0,r) est un compact implique si la boule unité fermée de H est compacte''.implique d'apres le lemme de Riesz B=" E a un nombre fini d'éléments "
reciproquement B=" E a un nombre fini d'éléments " implique B' (0_H, 1) compact car c’est un
ferme borne de H.implique il existe r≻0 telque B'(0,r) est un compact implique il existe un compact K c H et il existe r≻0 telque B'(0,r)c K implique A=" 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact"

[gg0]

Lis-tu ce que tu écris :
''il existe un compact K c H et il existe r≻0 telque B(0,r)c K si et seulement si il existe un compact K c H et il existe r≻0 telque B'(0,r)c K'' ?? C'est quoi B' ?
" implique si la boule unité fermée de H est compacte''

Ta preuve serait plus claire si tu utilisais une rédaction plus simple. Puisque tu procèdes par implications, une suite de phrases (finissant par des points), avec des "donc". Et une phrase par ligne.
Je laisse d'autres corriger le fond de la démonstration, je connais un peu le sujet, mais pas assez pour aller plus loin. Surtout écrit ainsi.

Cordialement.