Bonjour
Je lance deux point dans un plan, la probabilité d’appartenir à une droite est 1
Je lance trois points, la probabilité est impossible à déterminer.
Un autre exemple :
Je lance 4 points, quelle-est la probabilité que les 4 point forment un triangle avec un point à l’intérieure du triangle ?
Bonjour
Déjà, pour avoir 1 point dans le plan, il faut dire quelle loi on choisit.Envoyé par iharmed
Ensuite, on peut imaginer que l'on prend 3 points suivant cette même loi, de manière indépendante.
Pourquoi ne peut-on pas calculer la probabilité que les trois points soient alignés ? Pour une loi sans particularité, je dirais que cette proba est nulle.
proba est nulle, ca veut dire impossible.
Il n’est pas impossible que trois points lancés sous n’importe quelle loi générale se trouvent alignés
Au début, iharmed, tu disais << la probabilité est impossible à déterminer. >> . Ce que je conteste.
Maintenant, tu dis << proba est nulle, ca veut dire impossible. >> . Et cela, c'est faux ! Un phénomène de probabilité nulle peut se produire : par exemple, choisir un point sur un segment suivant la loi uniforme. Pour chaque point, la probabilité de le choisir est nulle, et pourtant, on en choisira bien un !
Iharmed,
tu en as encore beaucoup de ces affirmations péremptoires sur des sujets que tu ne connais pas ?
Et en plus, ce que tu écris n'a pas de sens : "Je lance deux point dans un plan,.." Tu fais comment pour lancer un point ? Déjà faudrait être capable de le tenir !!
Vous avez raison sur « affirmations péremptoires sur des sujets que tu ne connais pas »
Mais je réponds quand même
Lancer un point sur un plan, le sens mathématique est différent du sens physique.
Je pourrai dire faire naître (aléatoirement) un point dans plan.
Si vous tenez au geste physique, je lance (aléatoirement) une pierre et je prends comme point le centre de la pierre (la pierre a un centre mathématique qui est un point réel et comme exemple je donne le centre de gravité)
Je repose la question ;
Je lance 4 points sur un plan, quelle-est la probabilité que les 4 points forment un triangle avec un point à l’intérieure du triangle ?
Ou
Quelle-est la probabilité que les 4 points forment un triangle avec un point à l’extérieure du triangle ?
Il n’est pas possible de calculer les probabilités de ces événements, pourquoi ?
Salut
Tu as une infinité de points à l' intérieur du triangle et une infinité à l' extérieur .
La proportion entre points inter et points exter est l' infini sur l' infini , donc indéterminée .
Heu... Prend un cercle inscrit dans un carré (de coté 2, avec cercle de rayon 1). C'est pas parce qu'il y a une infinité de points à l'intérieur du cercle et une infinité à l'extérieur que l'on ne sait pas calculer la probabilité que, tirant un point au hasard selon une loi uniforme, ce point soit à l'intérieur du cercle. Elle vaut même
Ok, les probabilités sont indéterminées, mais elles sont non nulles.
4 points quelconques dans plan, s’ils ne forment pas un triangle avec un point l'intérieur c’est qu’ils forment un triangle avec un point l’extérieure.
La somme des probabilités est 1
Autre chose : l'infini sur l' infini n’est pas toujours indéterminée il est parfois déterminé
C'est ce qu'on appelle le problème de Sylvester.
don't feel the troll
Is not the troll, Soyez sûr.
Dans un forum de mathématique supérieur, il y'a des sujets intéressants mais complètement opérationnels tel que « Résolution équation différentielle », mais, mais, mais il faut aussi approcher les limites des connaissances, se poser des questions sur le pourquoi du pourquoi.
J’ai posté une question sur des faits donc on ne sait pas calculer la probabilité. L’intervenant minushabens a dit que c’est un problème connu qui s’appelle ((problème de Sylvester))
Je vais lire Sylvester et je reviendrai
Répondons a la question posée plutôt que s'esquiver parce que la loi de probabilité n' est pas déterminée. Elle est clairement supposée uniforme ici. La question est qu'elle proportion, si l on suppose les point choisis uniformément dans le plan représente le choix de quatre points tels que la fermeture convexe de ces points forment un triangle. Ce n est pas mathématiquement ininteressant. Si l on se place dans le plan tout entier, on est "sure" que l'enveloppe convexe des quatres points forme un quadrilatère, mais qu est ce qu'il en est si l on se place dans un compact du plan. Supposons de plus ce compact formé d un ensemble fini de points N. Alors la probabilite cherchée est d'au moins 3/N. Quelle est cette probabilité non nulle dans un ensemble compact ?
Sylvester est un mathématicien du XIXè siècle, il vaut mieux lire Solomon "geometric probability". Il se trouve que le pdf est disponible ici : https://archive.org/details/GeometricProbability
Bonjour,
"Je lance deux points dans un plan, la probabilité d’appartenir à une droite est 1"
Quelle est la probabilité que ces 2 points soient au même endroit?
Bonjour,
Sans être spécialiste, je dirais que la probabilité que 4 points définis aléatoirement sur un plan infini forment un triangle avec un point à l'intérieur, est de 1/2. Les 3 premiers points (1, 2, 3) forment nécessairement un triangle, le 4ème point (A, B ou C) devra alors se trouver dans la zone jaune du croquis pour qu'un des points (peu importe lequel) soit à l'intérieur du triangle formé par les 3 autres.
Si le 4ème point est le point A c'est bon, le point B aussi, le point C c'est loupé.
La zone jaune ne vaut pas tout à fait la moitié de l'aire totale du plan infini et je ne sais pas comment cette différence est à prendre en compte dans le cas d'un plan infini... est-ce vraiment 1/2 ou "quasi-1/2" ?
Pour la question de la probabilité que 3 points définis aléatoirement sur un plan, forment une droite, elle me parait être la même que la probabilité qu'un choix aléatoire d'un nombre réel donne Pi. Donc quand même assez réduite.
Dernière modification par Olivzzz ; 28/02/2015 à 13h26.
C'est bizarre, toutes ces réponses sans jamais définir comment on fait pour choisir un point "au hasard dans le plan". Et pourtant, c'est quelque chose de pas du tout évident : Considérons un immense rectangle. Soit p la probabilité qu'un point soit dans ce rectangle. Comme on peut paver le plan avec de tels rectangles, la probabilité que le point soit dans les n premiers rectangles est pn (événements incompatibles) (*). Donc pn<1; et comme n peut être aussi grand que l'on veut, on trouve p=0. mais alors la probabilité totale, qui est la probabilité limite de celle d'être dans n rectangles lorsque n tend vers l'infini est aussi 0; alors qu'elle devrait faire 1.
En fait, il est impossible de choisir un entier au hasard avec équiprobabilité, impossible de choisir un réel uniformément, impossible de choisir un point dans un plan ou une droite, uniformément.
Voila pourquoi la question initiale n'a pas de sens.
Cordialement.
NB : je n'ai pas lu la pièce jointe de Olivzz (en attente de validation), ni les travaux de Sylvester.
(*) Il est facile de régler la question des bords du rectangle : on n'en conserve que deux, adjacents.
Dernière modification par gg0 ; 28/02/2015 à 13h48.
Rebonjour,
Pour faire suite au message de gg0 :
En effet choisir un nombre aléatoirement sur un plan infini est une chose pour le moins complexe, c'est pourquoi j'ai contourné ce problème en partant du principe que les 3 premiers points avaient été définis d'une manière ou d'une autre et en "zoomant" sur le triangle qu'ils forment. L'aléatoire ne se retrouve alors plus que dans les proportions du triangle, ce qui est beaucoup plus simple car indépendant de la finitude ou non du plan.
Il ne reste alors plus qu'à définir le 4ème point. Selon mon esquisse (lorsque elle sera validée donc) la probabilité tend alors vers 1/2 (il se peut que j'utilise "tend" de manière erronée, désolé). Le problème est alors géométrique avant de s'intéresser aux techniques de définition aléatoire d'un point.
Dernière modification par Olivzzz ; 28/02/2015 à 15h03.
Avant de placer la quatrième point, il va falloir en placer 1. Où ?
Certains définissent des probabilités sur
N'importe comment, personne ne définit le mot "probabilité" dans ce cas, ce qui montre qu'il ne s'agit pas de mathématiques.
Et Iharmed est spécialiste de ces questions faussement mathématiques.
Sinon, pour ton cas, en reprenant ta figure, et se bornant à un rectangle, les aires des zones jaunes dépendent très fortement de la position des trois points. Elles peuvent être quasiment nulles (trois points quasiment alignés en bas, avec 3 au dessus), ou tenir l'essentiel du rectangle (trois points quasiment alignés en bas, avec 3 au dessous). Pour prouver "voisin de 1/2, il va falloir travailler !
Cordialement.
@Olivzzz:
je ne sais pas ce que tu entends par "tend vers 1/2" en fct de quelle(s) variable(s).
par ailleurs, je suppose que iharmed te dira que ton point B est à l'extérieur , selon SA définition.
Ansset,
Dans le cas B, l'un des 4 points (3) est "à l'intérieur du triangle formé par les trois autres".
Cordialement.
ça ressemble à des énigmes à la "contrexemple" tout ça !
correction : j'ai compris le sens de ton "tend vers 1/2......
@gg0:
ça me va ! ( personnellement )
cordialement.
Et pourtant Sylvester, qui se l'est posée, n'était pas le premier venu.
Heu ... Sylvester, c'est le dix-neuvième siècle.
Les probas continues étaient encore bien peu construites à cette époque. Mais tu es sûr que c'est ça, le "problème de Sylvester" ? En cherchant, je trouve ce problème de Sylvester, qui n'a rien à voir : Il n'y a pas de probas.
Aurais-tu une référence sur Sylvester et les probabilités de choix de points dans le plan ?
Cordialement.
Re-Re-bonjour,
En effet je fais totalement l'impasse sur la question de savoir comment définir aléatoirement un point sur un plan infini. Mais je ne suis pas certain que la méthode de définition des points soit importante dans le cadre de la question initiale et je suppose que ce n'en est pas l'objet. Quelle que soit la méthode utilisée, après 3 points on obtiendra un triangle. La suite n'est que géométrie... Peut-être que la question initiale a été posée dans la mauvaise rubrique du forum ?
Mon schéma représente la zone un plan infini regroupant les 3 premiers points. Si le plan est limitée c'est une autre paire de manches
Dernière modification par Olivzzz ; 28/02/2015 à 17h23.
Heu ... si une question porte sur une probabilité, le cadre est bien probabiliste. Et que se soit le premier ou le quatrième point, il faut bien définir ce qu'on fait.
On peut évidemment décider que cette question relève d'un autre domaine, la psychologie, par exemple, mais elle a été posée dans le seul forum dont relève la notion de probabilité.
Cordialement.
Re,
Je comprend votre point de vue et je vais essayer de reformuler, en tenant compte du fait qu'il faut bien trouver un moyen de définir aléatoirement ces 4 points.
Donc prenons un plan infini dans toutes les directions. Le plan étant infini, les distances n'ont plus d'intérêt et je ne vais donc pas placer mes points en définissant aléatoirement leurs coordonnées, mais en définissant aléatoirement leurs positions les uns par rapport aux autres, et plus précisément en commençant par définir aléatoirement les angles du triangle formé par les 3 premiers points.
Une fois ce triangle de points défini, il me resterait à définir aléatoirement mon 4ème point. Mais je peux m'épargner cette peine, car au moyen de mon schéma posté plus haut, je peux démontrer qu'une fois les 3 premiers points définis, mon plan infini se divise en 7 régions :
- Si mon 4ème point est défini dans l'une des 4 régions jaunes, alors les 4 points forment un triangle avec un point à l'intérieur. Sinon, non.
Dès lors la probabilité dépend du rapport d'aire entre la somme des régions jaunes et la somme des régions non-jaunes. Ce rapport est pratiquement de 1/2, la somme des régions non-jaune est légèrement supérieure en aire à la somme des régions jaunes. La probabiltié recherchée est donc quasiment de 1/2.
Reste ce "quasiment" qui m'ennuie, je ne sais pas comment il doit être traité dans le cadre d'un plan infini, je laisse ce point à ceux qui savent.
Maintenant il existe certainement d'autres méthodes pour définir les 4 points sur un plan infini. J'ai toutefois l'impression que le résultat sera le même, mais je peux me tromper.
Voilà j'espère que j'ai été plus clair
C'est un autre problème de Sylvester. Cet homme avait beaucoup de problèmes... en fait je crois qu'il envoyait à un journal des problèmes sans solution. Il faut supposer que les points sont tirés au hasard dans un domaine convexe du plan.
