Polynôme minimal de l'inverse d'une matrice

[The_Anonymous]

Bonsoir,

C'est encore moi, mais rassurez-vous, je vais arrêter de vous embêter après cette question

J'ai, pour être honnête, deux questions différentes que voici :

1) Soient un corps et un entier positif. Soit le polynôme minimal de la matrice qui est inversible avec .

On cherche à décrire le polynôme minimal de et termes du polynôme minimal de .

Dans la partie précédente, j'ai pu trouvé que .

Je ne sais pas si cela aidera dans le futur, mais autant le notifier.

Je n'arrive pas vraiment à commencer le problème, j'hésite entre partir de pour ensuite construire un polynôme avec ceci comme inconnue et arriver à , ou alors essayer de calculer pour ensuite l'exprimer comme polynôme avec .

Dans les deux cas, je me trouve perdu.

J'ai alors essayé de tout d'abord calculer le polynôme caractéristique de et j'ai trouvé .


Mais, à nouveau, je ne sais vraiment pas quoi en tirer.



2) Une petite question toute bête mais pourtant persistante qui réside en déterminer le polynôme caractéristique d'une simple matrice de .

On a .

J'ai calculé .

Jusque là, tout va bien, mais j'ai alors décidé de vérifier les propriétés qui sont dans mon cours, à savoir que le coefficient du degré pour une matrice de degré vaut , et celui du degré vaut .

Comme , le coefficient du degré vaut bien , mais quant à celui du degré , je trouve dans mon polynôme caractéristique, mais je calcule , ce qui devrait donner un coefficient de .

J'ai vérifié mes calculs trois fois, j'ai vérifié sur Wolfram|Alpha, et le je trouve toujours la même incohérence.

J'ai fait une erreur quelque part dans mon raisonnement, mais où ?

Merci beaucoup pour toutes vos réponses

Cordialement
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[0577]

Bonjour,

1) Etant donné un polynôme annulant A, comment construire un polynôme annulant A^{-1}?

2) Il faudrait inverser le signe des éléments hors de la diagonale quand on calcule t.I_3 - A ...

[The_Anonymous]

Bonjour,

1) Etant donné un polynôme annulant A, comment construire un polynôme annulant A^{-1}?

2) Il faudrait inverser le signe des éléments hors de la diagonale quand on calcule t.I_3 - A ...

Bonjour et merci pour la réponse,

1) C'est bien là la question! Je devrais être en mesure d'arriver à la solution voulue une fois votre question répondue, mais je ne sais pas comment m'y prendre...

J'ai à ma disposition les deux égalités et , et je cherche .

Si on considère un polynôme qui est tel que , alors quelle forme aurait le polynôme tel que ? (En reformulant votre question d'après moi).

Je ne vois vraiment pas par où commencer, je sèche...

Un petit indice pour m'indiquer comment commencer serait le bienvenue!

2) Je veux bien, mais pourquoi? J'ai fait le calcul en inversant les éléments en dehors de la diagonale et je trouve bien le résultat voulu, mais pourquoi devrait-on changer les signes? Jusque là, j'ai fait d'autres calculs similaires avec des matrices différents et je n'ai jamais eu besoin de changer les signes, et rien n'indique dans mon cours ou sur internet qu'il faut procéder ainsi. Je ne sais donc s'il faut changer les signes dans ce cas, mais alors pourquoi? ou sinon, s'il ne faut pas changer les signes, pourquoi le calcul ne correspond-il toujours pas à la propriété?

Cordialement

Édit. : Dans le message #1, une coquille s'est glissée (sans importance) : Le polynôme caractéristique trouvé pour la deuxième question est .

[Seirios]

Bonsoir,

Un indice pour la première question : Il est peut-être plus simple de penser le problème à l'envers, c'est-à-dire partir de , et chercher à remplacer chaque puissance négative par une puissance positive. Tu peux commencer par une expression explicite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

2) Je veux bien, mais pourquoi? J'ai fait le calcul en inversant les éléments en dehors de la diagonale et je trouve bien le résultat voulu, mais pourquoi devrait-on changer les signes? Jusque là, j'ai fait d'autres calculs similaires avec des matrices différents et je n'ai jamais eu besoin de changer les signes, et rien n'indique dans mon cours ou sur internet qu'il faut procéder ainsi. Je ne sais donc s'il faut changer les signes dans ce cas, mais alors pourquoi? ou sinon, s'il ne faut pas changer les signes, pourquoi le calcul ne correspond-il toujours pas à la propriété?

Je ne suis pas sûr que tu aies saisi la remarque de 0577 : en calculant , tu as mis un signe moins devant les éléments diagonaux mais pas devant les autres.

[The_Anonymous]

Bonsoir,

Un indice pour la première question : Il est peut-être plus simple de penser le problème à l'envers, c'est-à-dire partir de , et chercher à remplacer chaque puissance négative par une puissance positive. Tu peux commencer par une expression explicite.

Je ne suis pas sûr que tu aies saisi la remarque de 0577 : en calculant , tu as mis un signe moins devant les éléments diagonaux mais pas devant les autres.

Bonsoir et merci énormément pour la réponse!

1) J'ai creusé avec ce que vous m'aviez indiqué, mais je reste assez confus avec quel genre de résultat on cherche (la forme, la méthode je veux dire, j'ai bien compris qu'on recherche concrètement un polynôme minimal).

On recherche donc un polynôme tel qu'il s'annule en . Sachant que (obviously), alors je me suis dit que était le polynôme recherché puisque .

En assumant que j'ai trouvé le bon polynôme, je suis maintenant supposé chercher à changer chaque degré pour arriver à un polynôme avec des puissances positives. Ne voyant pas trop comment procédé, j'ai pris l'exemple d'un polynôme de degré 2. J'ai donc avec bien sûr , et alors avec .

J'ai cherché à réécrire , mais je ne vois pas quelle propriété utiliser. Je ne vois pas en quoi le fait que ce polynôme s'annule en nous aide à reformuler le polynôme général, je suis donc un peu coincé à cette étape.


2) Wow... J'ai l'air bien bête...

Merci pour la remarque, je n'avais jamais fait attention à inverser le signe de tous les coefficients dans la matrice lors du calcul du polynôme caractéristique donc j'ai pu revoir tout mon devoir en entier .

Ceci dit effectivement, 0557 avait raison mais je l'avais mal compris, mes excuses, donc merci pour la clarification. J'ai alors refait mon calcul, tout marche bien et se simplifie agréablement .


Merci encore une fois pour l'aide

Cordialement

[gg0]

Heu ...
n'est pas un polynôme !!!

Cordialement.

[The_Anonymous]

Heu ...
n'est pas un polynôme !!!

Cordialement.

Bonjour,

Après avoir jeté un coup d’œil à Wikipedia (je sais, pas la meilleure source mais je suppose que l'article doit être correct quand même), un polynôme est une expression à une indéterminée de la forme

.

En revoyant le message #4, je devine qu'il faut trouver une expression telle qu'elle annule (pas un polynôme à proprement parler à cause des puissances négatives), puis transformer cette expression en polynôme, c'est-à-dire passer les puissances négatives en puissances positives, étape à laquelle je suis malheureusement coincé.

J'ai donc qui s'annule en , j'ai trouvé l'expression telle que, quand on remplace les par des , on trouve

.

Ceci dit, je reste bloqué sur le changement des puissances, j'ai essayé avec mon exemple de degré deux, mais rien n'y fait, je ne vois vraiment pas comment.

Cordialement

[gg0]

Déjà, tu pourrais régler le problème (dans les réels) : Si at²+bt+c=0, avec t inversible, donc c non nul, quelle équation polynomiale vérifie 1/t. C'est très simple, tu as fait la moitié du chemin, mais tu t'étais arrêté en route (t inversible, donc non nul, est important). Si tu es incapable de faire cet exercice très simple, comment arriveras-tu à le faire avec des matrices ?

Cordialement.

NB : pas non plus de puissances négatives dans les polynômes.

[The_Anonymous]

Déjà, tu pourrais régler le problème (dans les réels) : Si at²+bt+c=0, avec t inversible, donc c non nul, quelle équation polynomiale vérifie 1/t. C'est très simple, tu as fait la moitié du chemin, mais tu t'étais arrêté en route (t inversible, donc non nul, est important). Si tu es incapable de faire cet exercice très simple, comment arriveras-tu à le faire avec des matrices ?

Cordialement.

NB : pas non plus de puissances négatives dans les polynômes.

Bonjour,

J'ai lu et relu le message mais j'ai un peu de peine... Si je ne me trompe pas, on précise bien que t est inversible, donc non nul, et je calcule donc mon expression du message #6

et je trouve .

Mais alors , sachant que t est non nul.

Alors ça voudrait dire que mon polynôme que je recherche pour mon exemple est . Je suis vraiment pas à l'aise, mais ma méthode me semble ok, malgré le flou à propos de "expression sans nom, polynôme, ou équation polynomiale".

C'est probablement brûler les étapes, mais si j'essayais de faire une conclusion pour le cas général n, le polynôme qui s'annule en serait donc

.

J'aurais donc trouvé le polynôme minimal de est la dernière étape serait de l'exprimer en fonction de pour arriver au résultat voulu.

J'espère que j'ai été assez clair pour que vous puissiez me comprendre.

Cordialement

Édit. : Pour votre NB justement, j'ai cru que comprendre que votre message #7 signifiait que mon expression n'était pas un polynôme à cause des puissances négatives justement, donc je considère la "chose" comme expression, puis je l'écris sous forme "d'équation polynomiale" pour finalement trouver un polynôme qui j'espère est le bon. J'espère avoir correctement compris les notions

[gg0]

Tu penses que

est le polynôme minimal. Il te suffit, pour le vérifier de remplacer t par . Et, pour te ramener à un polynôme en A, il suffit de le multiplier par qui n'est pas un diviseur de 0 puisque A est inversible.

Cordialement.

NB : C'est une copie de ce qu'on fait avec t.