polynome minimal - Matrice compagnon

[invitebe08d051]

Salut,

Je dispose d'une matrice compagnon C : Matrice Compagnon.

Enfin, c'est la même mais avec des au lieu des sur la dernière colonne. (Bref ça ne change pas grand chose).

On montre facilement que .

Je signale que les coefficients sont réels.
Je dois déterminer le polynôme minimal de C.
Dans l'article de wikipedia, il est cité que le polynôme caractéristique et minimal de cette matrice sont égaux (dans le sens associés), mais je n'arrive pas à le démontrer.

J'ai pensé à montrer que ce polynôme est irréductible mais je n'ai pas d'informations à propos des racines...je ne sait même pas trancher si cette matrice est diagonalisable (tout depend des )...

Des pistes ??

Cordialement

Mimo
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[invite57a1e779]

'ai pensé à montrer que ce polynôme est irréductible mais je n'ai pas d'informations à propos des racines...je ne sait même pas trancher si cette matrice est diagonalisable...

Des pistes ??

Bonjour,

Tout d'abord, pour ta culture, le résultat est valable dans tous les cas, et permet d'exhiber une matrice de polynôme caractéristique, ou minimal donné. En particulier, s'il y a des racines multiples, la matrice ne sera pas diagonalisable.

Une piste : à quoi ressemblent les puissances successives de la matrice ?

[invitebe08d051]

Une piste : à quoi ressemblent les puissances successives de la matrice ?

C'était ma première tentative.

Naturellement, la "diagonale" des 1 va descendre jusqu'à disparaitre si on atteint une puissance , mais j'ai du mal à exprimer les coefficients qui apparaissent à droite, j'ai essayé sur des exemples, mais ça se complique, je n'arrive pas à généraliser...

[invite57a1e779]

Bonjour mimo13,

J'avais demandé «à quoi ressemblent les puissances successives de la matrice ?», pas «à quoi sont égales les puissances successives de la matrice ?»

Tu veux obtenir une combinaison des puissances de la matrice qui soit nulle pour pouvoir décrire les polynômes annulateurs ; la seule condition que la première colonne de cette combinaison linéaire soit nulle va imposer une condition au degré des polynômes annulateurs, et te donner une indication sur le polynôme minimal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Naturellement, la "diagonale" des 1 va descendre jusqu'à disparaitre si on atteint une puissance

Bien sur, ici je voulais dire .

Bonjour mimo13,

J'avais demandé «à quoi ressemblent les puissances successives de la matrice ?», pas «à quoi sont égales les puissances successives de la matrice ?»

Tu veux obtenir une combinaison des puissances de la matrice qui soit nulle pour pouvoir décrire les polynômes annulateurs ; la seule condition que la première colonne de cette combinaison linéaire soit nulle va imposer une condition au degré des polynômes annulateurs, et te donner une indication sur le polynôme minimal.

Bon, je crois avoir saisi la chose.
Si je prend une combinaison linéaire:

Et qu'on observe la première colonne de chaque terme, jamais la combinaison linéaire ne donnera une première colonne nulle tant que , parce que les vecteurs constituant chaque première colonne seront libres.

Et avec le polynôme caractéristique, on conclut.

Merci God's Breath.