Série de Fonctions

[invite2fb9aacd]

Bonjour à tous,

J'aimerais votre opinion sur m démonstration.

Donc j'ai la série de fonctions définies sur par:



1) J'ai montré que la série convergeait simplement sur . On note sa somme.
2)J'ai démontré qu'elle convergeait normalement sur .
En effet, la fonction croît de 0 à sur donc:

qui tend vers 0
converge normalement sur .
Elle converge donc également uniformément sur .
De plus chaque fonction étant continue sur , il en résulte que la somme S est continue sur .

3)Grace à la convergence normale sur




4)Dans cette question on étudie la série de fonctions sur les intervalles de la forme pour a>0.

J'ai majoré par qui est une série convergente donc convergence uniforme sur de
Comme à la question 1 on a montré que convergeait simplement sur , d'après le théorème de dérivation pour une série de fonctions, j'en déduit que est dérivable sur

5) Et voilà où je bloque!!!
Je dois poser et montrer


puis en déduire que n'est pas dérivale en 0

J'ai tenté de calculer mais je ne vois pas de suite.

Donc est ce que les 4 premières réponses vous paraissent correctes et pouvez vous m'aider sur la dernière?

Merci
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[invite2fb9aacd]

Si je remplace x par , j'obtiens:




Or

Donc




Qu'en pensez-vous?

[invite93e0873f]

Bonsoir,

[...]
Je dois poser et montrer


puis en déduire que n'est pas dérivale en 0

[...]

Si je remplace x par , j'obtiens:




[...]

Les quatre premières étapes me semblent bonnes.

Pour la cinquième, j'imagine qu'il faut plutôt montrer pour tout . Il est d'ailleurs suffisant de ne considérer que ces valeurs de x pour montrer que la dérivée en 0 n'existe pas.

Votre justification est erronée : d'une part, ça ne peut pas être une égalité, puisque l'indice de sommation va jusqu'à l'infi et, d'autre part, vous avez confondu la valeur de x avec l'indice de sommation.

Vous êtes sur une meilleure voie à la ligne débutant par « Or » ; il vous suffit ensuite de borner supérieurement (quels que soient k et ) par une certaine constante...

[invite2fb9aacd]

Ok, merci Universus.

[A voir en vidéo sur Futura]