Une série de fonctions

[CG34]

Bonjour, le but de l'exercice qui me pose problème est d'étudier la série de fonctions : Σ(-1)^n/racine(x+n) qui converge simplement et de somme notée S.

Pour cela on me demande tout d'abord de montrer que Σ[1/racine(x+2n)-1/racine(x+2n+1)] converge normalement sur R+.
La borne supérieure de la fonction x->1/racine(x+2n)-1/racine(x+2n+1) est en 0 car cette fonction est décroissante de limite nulle. Mais après je ne sais pas comment montrer la convergence normale.

Il faut ensuite montrer la continuité de S, ses limites en 0 et en +infini. Puis un équivalent en 0.
Pour les limites il me semble qu'un théorème d'inversion limite somme fait l'affaire, même si grâce à cela je n'arrive pas à trouver la limite en 0.
Pour la continuité, il faut la convergence normale de S (hypothèse qu'il faut aussi pour le précédent théorème) qui doit être liée à celle de l'autre série étudiée il me semble. Mais je ne sais pas comment le montrer.
Enfin je n'ai aucune idée pour l'équivalent.


Merci d'avance pour votre aide.
-----

[phys4]

Bonjour,
Cette demande n'a pas eu beaucoup de succès. J'aurais bien voulu voir une démonstration rigoureuse.

Pour commencer, l'association deux à deux des termes de la série alternée donne une série positive.
Il est possible de montrer que cette série est majorée par la série générale 1/(2n)^3/2

Elle est donc convergente.
Pour x infini, tous les termes tendent vers zéro. Vous pouvez utiliser la continuité pour montrer que la limite de S est nulle.
Je ne vois pas de série simple qui donne la valeur de S en x = 0

Bonne suite.